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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Invertierbarkeit
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Invertierbarkeit: nilpotente Matrizen
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:55 Mo 11.06.2012
Autor: mathemaus2010

Aufgabe
Sei K ein Körper. Eine Matrix A [mm] \in K^{n,n} [/mm] heißt nilpotent, falls es ein k [mm] \in [/mm] N gibt mit [mm] A^{k} [/mm] = 0. Sei A [mm] \in K^{n,n} [/mm] nilpotent.

Zeigen Sie, dass μIn − A genau dann invertierbar ist, wenn μ [mm] \in [/mm] K [mm] \backslash [/mm] {0} ist.

Hallo liebes Forum =),


Mein Problem an dieser Aufgabe ist, dass ich nicht verstehe, was "μ" hier für eine Rolle spielt. Ich weiß, dass In − A invertierbar ist, aber ist das Vielfache der Einheitsmatrix - A auch invertierbar? Und wenn ja, wie kann ich das zeigen? Hat einer einen Tipp oder Denkanstoß?



Danke für die Hilfe =).


Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Invertierbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:50 Mo 11.06.2012
Autor: mathemaus2010

kann mir keiner helfen? =(

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Invertierbarkeit: Denkanstoß
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:19 Di 12.06.2012
Autor: barsch

Hallo

> Sei K ein Körper. Eine Matrix A [mm]\in K^{n,n}[/mm] heißt
> nilpotent, falls es ein k [mm]\in[/mm] N gibt mit [mm]A^{k}[/mm] = 0. Sei A
> [mm]\in K^{n,n}[/mm] nilpotent.
>  
> Zeigen Sie, dass μIn − A genau dann invertierbar ist,

Was meinst du mit "In". Ich nehme an, dass soll die Einheitsmatrix sein. Ich bezeichne diese im Folgenden nur mit I.


> wenn μ [mm]\in[/mm] K [mm]\backslash[/mm] {0} ist.
>  Hallo liebes Forum =),
>  
>
> Mein Problem an dieser Aufgabe ist, dass ich nicht
> verstehe, was "μ" hier für eine Rolle spielt. Ich weiß,
> dass In − A invertierbar ist, aber ist das Vielfache der
> Einheitsmatrix - A auch invertierbar? Und wenn ja, wie kann
> ich das zeigen? Hat einer einen Tipp oder Denkanstoß?

Denkanstoß:

[mm]\mu*I-A[/mm] ist invertierbar, wenn [mm]det(\mu*I-A)\neq0[/mm].

[mm]det(\mu*I-A)[/mm] ist das charakteristische Polynom der Matrix A.

Wie sieht denn allgemein das charakteristische Polynom einer nilpotenten Matrix aus?

> Danke für die Hilfe =).
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder auf
> anderen Internetseiten gestellt.

Gruß
barsch


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Invertierbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:48 Di 12.06.2012
Autor: mathemaus2010

danke für deinen Denkanstoß, du bist meine Rettung =). Ich werde versuchen das jetzt mal nachzuvollziehen. =) Und ja In ist die Einheitsmatrix.

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Invertierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:02 Di 12.06.2012
Autor: mathemaus2010

Also ich habe mir das jetzt folgendermaßen mit deinem Ansatz durchdacht:

μ I − A ist invertierbar, wenn det(μ I − A) [mm] \not= [/mm] 0


det (μ I − A) ist ja nun genau das charakteristische Polynom. Für eine nilpotente Matrix ist das char. Polynom: [mm] -1^{n} [/mm] μ^{n}. Daraus folgt nun:

det (μ I − A) = [mm] -1^{n} [/mm] μ^{n} [mm] \not= [/mm] 0

Damit [mm] -1^{n}μ^{n} \not= [/mm] 0 , muss μ^{n} [mm] \not= [/mm] 0  .

Stimmt das soweit? Das wäre ja die Hinrichtung und jetzt muss noch die Rückrichtung gezeigt werden, oder?  


Danke, dass du mir hilfst? =)

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Bezug
Invertierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:08 Di 12.06.2012
Autor: fred97


> Also ich habe mir das jetzt folgendermaßen mit deinem
> Ansatz durchdacht:
>
> μ I − A ist invertierbar, wenn det(μ I − A) [mm]\not=[/mm] 0
>  
>
> det (μ I − A) ist ja nun genau das charakteristische
> Polynom. Für eine nilpotente Matrix ist das char. Polynom:
> [mm]-1^{n}[/mm] μ^{n}. Daraus folgt nun:
>  
> det (μ I − A) = [mm]-1^{n}[/mm] μ^{n} [mm]\not=[/mm] 0
>
> Damit [mm]-1^{n}μ^{n} \not=[/mm] 0 , muss μ^{n} [mm]\not=[/mm] 0  .
>
> Stimmt das soweit?

Ja, nur fürchterlich aufgeschrieben.

>  Das wäre ja die Hinrichtung und jetzt
> muss noch die Rückrichtung gezeigt werden, oder?  

Geht in einem Aufwasch:

Sei A nilpotent und [mm] p_A [/mm] das char. Polynom. Dann ist [mm] p_A(\lambda)=(-1)^n\lambda^n. [/mm]

[mm] \mu [/mm] I-A invertierbar  [mm] \gdw \mu [/mm] ist kein Eigenwert von A [mm] \gdw p_A(\mu) \ne [/mm] 0 [mm] \gdw \mu \ne [/mm] 0.

FRED

>
>
> Danke, dass du mir hilfst? =)


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