Invertierbar dank ggT? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:11 So 07.11.2004 | | Autor: | NimroT |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Wie kann man beweisen, dass in einem endlichen Ring Z/n eine Zahl a nur dann multiplikativ invertierbar ist, wenn gilt ggT(n,a) = 1?
Das die Aussage wohl stimmt konnte ich durch ausprobieren schon feststellen (konnte zumindest bisher noch kein Gegenbeispiel finden), aber wie beweist man das algebraisch? Per Induktion? Falls ja: nach was soll induziert werden?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 So 07.11.2004 | | Autor: | andreas |
hi
sei [m] n \in \mathbb{N}, n \geq 2 [/m] und [m] a \in \{0, \hdots, n-1 \} [/m] mit [m] \textrm{ggT} (a, n) = 1 [/m]. dann erhält man mit dem euklidschen algorithmus eine darstellung der form [m] ax + bn = 1, \; x, y \in \mathbb{Z} [/m] (den algorithmus bis unten durchrechen und wieder rückwärts einstzen - das muss man einfach mal ausprobieren, sollte dann schon klappen). folglich gilt [m] ax \equiv 1 \mod n [/m] und die invertierbarkeit ist gezeigt.
einen etwas sauberen beweis findet man in fast jedem zahlentheorieskript - du kannst ja mal etwas im internet suchen oder hier nochmal nhachfragen.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 So 07.11.2004 | | Autor: | NimroT |
Vielen dank für die schnelle Antwort. Die reicht mir aus um zu verstehen, wie es geht!
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