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Inverse Laplace-Transformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:48 Sa 12.05.2012
Autor: handballer1988

Guten Abend!

Beim lernen für die anstehende Klausur bin ich leider wieder Mal auf zwei inverse Transformationen gestoßen, welche mir einfach nicht gelingen wollen:

a) Inverse Laplacetransformation der Funktion [mm] \bruch{4*e^{1-s}}{5*(s-1)} [/mm]

b) Inverse Laplacetransformation der Funktion [mm] \bruch{4*e^{1-s}}{5*(s+4)} [/mm]

(Die o. g. Funktionen habe ich bereits mittels Partialbruchzerlegung aufgespallten!)

Ich vermute, die Transformation wird irgendwie mittels Verschiebungssatz zu ermitteln sein, nur wie genau???

Vielen Dank für eure Tipps!

Lg

        
Bezug
Inverse Laplace-Transformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:48 So 13.05.2012
Autor: Calli


> a) Inverse Laplacetransformation der Funktion
> [mm]\bruch{4*e^{1-s}}{5*(s-1)}[/mm]

Zur Rücktransformation wäre folgendes Integral zu lösen:

[mm] \integral {\frac{e^{-s}}{s-1}\,e^{s\,t}\, ds} [/mm]

Dafür kenne ich keine (abgeschlossene) Stammfunktion.

Ciao

Bezug
                
Bezug
Inverse Laplace-Transformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:33 So 13.05.2012
Autor: handballer1988

Also Wolfram Alpha spuckt mir folgende Lösungen aus:

a) [mm] \bruch{4}{5}*e^{t}*H(t-1) [/mm]

b) [mm] \bruch{4}{5}*e^{1-4*(t-1)}*H(t-1) [/mm]

Nur ich habe leider keinen Plan, wie die auf dieses Ergebniss kommen??

Jemand einen Tipp??

DANKE

Bezug
                        
Bezug
Inverse Laplace-Transformation: Verschiebungssatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:00 So 13.05.2012
Autor: Infinit

Hallo handballer,
wie Du schon richtig vermutest, hilft hier der Verschiebungssatz weiter. Dessen Argumente müssen allerdings stimmen, was immer wieder gerne übersehen wird.
Zu einer Funktion [mm] f(t-t_0) H (t-t_0) [/mm] gehört die Laplace-Transformierte [mm] F(s) e^{-st_0} [/mm]
Das bekommst Du aber bei Dir einfach hin.
Zu [mm] \bruch{4}{5} \cdot \bruch{1}{s-1} [/mm] gehört die Zeitfunktion
[mm] \bruch{4}{5} e^t [/mm] und das Argument der e-Funktion schreibst Du etwas um als
[mm] e^{1-s} = e^{-(s-1)} [/mm] und schon steht Dein Ergebnis da.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
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