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Forum "Laplace-Transformation" - Inverse Laplace-Transformation
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Inverse Laplace-Transformation: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:08 Mi 28.12.2011
Autor: Random

Aufgabe
Bestimmen sie für a>0 die inverse Laplace-Transformation der Funktion F definiert durch:

[mm] F(s)=(1-e^{-as})*\bruch{1}{s(s-1)}. [/mm]

Guten Morgen! :)

Ich hab mir den Teil zu Laplace-Transformation im Skript durchgelesen und weiss trotzdem nicht wie ich die Aufgabe angehen soll.

Ein Tipp wäre sehr nett.

Meine Überlegung:

Ich suche: [mm] L^{-1}(F) [/mm]
Und ich kann den Ausdruck umschreiben in: [mm] L^{-1}(F)=L^{-1}(\bruch{1}{s^2-s})-L^{-1}(\bruch{e^{-as}}{s^2-s}) [/mm]

Ich find aber keine passende Funktion in der Tabele ^^.

Ilya

        
Bezug
Inverse Laplace-Transformation: Zerlegen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:19 Mi 28.12.2011
Autor: Infinit

Hallo ilya,
Gucke erst mal nach dem letzten Term
[mm] \bruch{1}{s(s-1)} [/mm] , den Du mit Hilfe einer Partialbruchzerlegeung aufteilen kannst.
[mm] \bruch{1}{s(s-1)} = \bruch{A}{s} + \bruch{B}{s-1} [/mm]
Ein Koeffizientenvergleich liefert Dir die Werte für A und B.
Der Multiplikator vor diesem letzten Term deutet sehr stark auf die Anwendung des Verschiebungssatzes hin, denn zu einer um a zeitverschobenen Funktion gehört im Laplacebereich eine mit diesem Faktor versehene e-Funktion.
Zu
[mm] f(t-a) [/mm] gehört die Laplacetransformierte
[mm] e^{-as} F(s) [/mm]
Damit hast Du alles zusammen, was Du so brauchst.
Viele Grüße,
Infinit


Bezug
                
Bezug
Inverse Laplace-Transformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:25 Mi 28.12.2011
Autor: Random

Danke. An die Partialbruchzerlegung hab ich nicht gedacht.

Ich bekomm ja dann [mm] -\bruch{1}{s}+\bruch{1}{s-1} [/mm]
und das liefert mir: [mm] L^{-1}(-\bruch{1}{s}+\bruch{1}{s-1})=e^t-1 [/mm]

bleibt nur noch der Teil mit [mm] -\bruch{e^{-as}}{s(s-1)} [/mm]

Und das ist die Verschiebung um a: [mm] e^{-as}*-\bruch{1}{s(s-1)} [/mm]
Also krieg ich wieder [mm] e^t-1 [/mm] mit nem Minus davor: [mm] -(e^t-1) [/mm] und statt t ist es dann einfach t-a?

Also: [mm] -(e^{t-a}-1) [/mm]
Die Lösung wäre somit einfach: [mm] L^{-1}(F(s))=e^t-1-(e^{t-a}-1)=e^t-1-(e^{t-a}-1)=e^t-e^{t-a} [/mm]

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Bezug
Inverse Laplace-Transformation: Aufpassen mit der 1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:38 Mi 28.12.2011
Autor: Infinit

Hallo Random,
mit der 1 als Rücktransformierte musst Du etwas aufpassen. Was Du meinst, ist die für t > 0 definierte Sprungfunktion [mm] \epsilon (t) [/mm]. Diese wird dann auch um die Zeitspanne a verschoben, geschrieben als
[mm] \epsilon(t-a) [/mm]. Ansonsten passiert so etwas, wie es Dir passiert ist, und die 1 kürzt sich raus, das macht sie aber nicht. Schreibe deswegen den hinteren Term rücktransformiert besser als
[mm] e^t - \epsilon(t) [/mm]

Viele Grüße,
Infinit


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Bezug
Inverse Laplace-Transformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:49 Mi 28.12.2011
Autor: Random

Also wäre die Lösung: [mm] L^{-1}(F(s))=e^t-1-(e^{t-a}-\epsilon(t))=-e^{t-a}+e^t+\epsilon(t)-1 [/mm]

Hab ich das richtig verstanden, dass statt der "1" in der Verschobenen Funktion die [mm] \epsilon(t) [/mm] Funktion eingesetzt wird, da sie 1 ja auch von der Verschiebung betroffen ist?

Bezug
                                        
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Inverse Laplace-Transformation: Epsilon
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:22 Mi 28.12.2011
Autor: Infinit

Hallo Random,
das hast Du richtig verstanden, aber falsch hingeschrieben. Zum Term [mm] \bruch{1}{s} [/mm] gehört die Sprungfunktion [mm] \epsilon (t) [/mm].
Damit bekonnst Du
[mm] e^t - \epsilon (t) - \left( e^{(t-a)} - \epsilon (t-a)\right) [/mm]
Viele Grüße,
Infinit


Bezug
                                                
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Inverse Laplace-Transformation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:19 Mi 28.12.2011
Autor: Random

Vielen Dank Infinit. ^^

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