Inverse L-Transf Faltungssatz < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:25 Di 06.11.2018 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gesucht ist die Funktion f(t) zu F(s)
F(s) = [mm] \bruch{1}{(s+3)^2*(s-3)^2} [/mm] |
Moin Moin,
ich habe noch einen Post eröffnet; vielleicht traut sich jetzt jemand da ran?!
Soviel ich verstanden habe besagt der Faltungssatz
L (f(t)) * L(g(t)) = L(f(t)*g(t))
mit f(t)*g(t) = [mm] \integral_{0}^{t}{f(t-\vartheta)*g(\vartheta) d\vartheta}
[/mm]
Ich zerlege F(s) in die Faktoren
F(s) = [mm] \bruch{1}{(s+3)^2*(s-3)^2}
[/mm]
F(s) = [mm] \bruch{1}{(s+3)^2}*\bruch{1}{(s-3)^2}
[/mm]
Die Korrespondenztabelle liefert
[mm] \bruch{1}{(s+a)^2} [/mm] <---> [mm] t*e^{-at} [/mm] bzw. [mm] \bruch{1}{(s+3)^2} [/mm] <---> [mm] t*e^{-3t}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{(s-a)^2} [/mm] <---> [mm] t*e^{at} [/mm] bzw. [mm] \bruch{1}{(s-3)^2} [/mm] <---> [mm] t*e^{3t}
[/mm]
=>
= [mm] \integral_{0}^{t}{(t-\vartheta)*e^{-3*(t-\vartheta)}*t*e^{3\vartheta}d\vartheta}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{t}{(t*e^{-3t+3*\vartheta}-\vartheta*e^{-3*t+3*\vartheta})*t*e^{3\vartheta}d\vartheta}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{t}{(t^2*e^{-3t+6*\vartheta}-\vartheta*t*e^{-3*t+6*\vartheta})d\vartheta}
[/mm]
= [mm] [\bruch{1}{6}*t^2*e^{-3t+6*\vartheta}]_0^{t} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{t}{\vartheta*t*e^{-3*t+6*\vartheta}d\vartheta}
[/mm]
partielle Integration mit
u = [mm] \vartheta*t [/mm] v' = [mm] e^{-3*t+6*\vartheta}
[/mm]
u' = t v = [mm] \bruch{1}{6}*e^{-3*t+6*\vartheta}
[/mm]
= [mm] [\bruch{1}{6}*t^2*e^{-3t+6*\vartheta}]_0^{t} [/mm] - [mm] ([\bruch{1}{6}*\vartheta*t*e^{-3*t+6*\vartheta}]_0^{t} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{t}{t*\bruch{1}{6}*e^{-3*t+6*\vartheta} d\vartheta})
[/mm]
= [mm] [\bruch{1}{6}*t^2*e^{-3t+6*\vartheta}]_0^{t} [/mm] - [mm] [\bruch{1}{6}*\vartheta*t*e^{-3*t+6*\vartheta}]_0^{t} [/mm] + [mm] [\bruch{1}{36}*t*e^{-3*t+6*\vartheta}]_0^{t}
[/mm]
= [mm] [e^{-3t+6\vartheta}*(\bruch{1}{6}*t^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{6}*\vartheta*t [/mm] + [mm] \bruch{1}{36}*t)]_0^{t}
[/mm]
= [mm] (e^{-3t+6*t}*(\bruch{1}{6}*t^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{6}*t*t [/mm] + [mm] \bruch{1}{36}*t) [/mm] - [mm] (e^{-3t+6*0}*(\bruch{1}{6}*t^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{6}*0*t [/mm] + [mm] \bruch{1}{36}*t)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{36}*t*e^{3t} -\bruch{1}{6}*t^2*e^{-3t} [/mm] - [mm] \bruch{1}{36}*t*e^{-3t}
[/mm]
richtig?
Danke und Gruß!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 08.11.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 18:00 Do 08.11.2018 | | Autor: | hase-hh |
Gesucht ist die Funktion f(t) zu F(s)
F(s) = [mm]\bruch{1}{(s+3)^2*(s-3)^2}[/mm]
Moin Moin,
vielleicht traut sich jetzt jemand da ran?!
Soviel ich verstanden habe besagt der Faltungssatz
L (f(t)) * L(g(t)) = L(f(t)*g(t))
mit f(t)*g(t) = [mm]\integral_{0}^{t}{f(t-\vartheta)*g(\vartheta) d\vartheta}[/mm]
Ich zerlege F(s) in die Faktoren
F(s) = [mm]\bruch{1}{(s+3)^2*(s-3)^2}[/mm]
F(s) = [mm]\bruch{1}{(s+3)^2}*\bruch{1}{(s-3)^2}[/mm]
Die Korrespondenztabelle liefert
[mm]\bruch{1}{(s+a)^2}[/mm] <---> [mm]t*e^{-at}[/mm] bzw.
[mm]\bruch{1}{(s+3)^2}[/mm] <---> [mm]t*e^{-3t}[/mm]
[mm]\bruch{1}{(s-a)^2}[/mm] <---> [mm]t*e^{at}[/mm] bzw.
[mm]\bruch{1}{(s-3)^2}[/mm] <---> [mm]t*e^{3t}[/mm]
=>
= [mm]\integral_{0}^{t}{(t-\vartheta)*e^{-3*(t-\vartheta)}*t*e^{3\vartheta}d\vartheta}[/mm]
= [mm]\integral_{0}^{t}{(t*e^{-3t+3*\vartheta}-\vartheta*e^{-3*t+3*\vartheta})*t*e^{3\vartheta}d\vartheta}[/mm]
=
[mm]\integral_{0}^{t}{(t^2*e^{-3t+6*\vartheta}-\vartheta*t*e^{-3*t+6*\vartheta})d\vartheta}[/mm]
= [mm][\bruch{1}{6}*t^2*e^{-3t+6*\vartheta}]_0^{t}[/mm] - [mm]\integral_{0}^{t}{\vartheta*t*e^{-3*t+6*\vartheta}d\vartheta}[/mm]
partielle Integration mit
u = [mm]\vartheta*t[/mm] v' = [mm]e^{-3*t+6*\vartheta}[/mm]
u' = t v = [mm]\bruch{1}{6}*e^{-3*t+6*\vartheta}[/mm]
= [mm][\bruch{1}{6}*t^2*e^{-3t+6*\vartheta}]_0^{t}[/mm] - [mm]([\bruch{1}{6}*\vartheta*t*e^{-3*t+6*\vartheta}]_0^{t}[/mm] - [mm]\integral_{0}^{t}{t*\bruch{1}{6}*e^{-3*t+6*\vartheta} d\vartheta})[/mm]
= [mm][\bruch{1}{6}*t^2*e^{-3t+6*\vartheta}]_0^{t}[/mm] - [mm][\bruch{1}{6}*\vartheta*t*e^{-3*t+6*\vartheta}]_0^{t}[/mm] + [mm][\bruch{1}{36}*t*e^{-3*t+6*\vartheta}]_0^{t}[/mm]
= [mm][e^{-3t+6\vartheta}*(\bruch{1}{6}*t^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{6}*\vartheta*t[/mm] + [mm]\bruch{1}{36}*t)]_0^{t}[/mm]
= [mm](e^{-3t+6*t}*(\bruch{1}{6}*t^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{6}*t*t[/mm] + [mm]\bruch{1}{36}*t)[/mm] - [mm](e^{-3t+6*0}*(\bruch{1}{6}*t^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{6}*0*t[/mm] + [mm]\bruch{1}{36}*t)[/mm]
= [mm]\bruch{1}{36}*t*e^{3t} -\bruch{1}{6}*t^2*e^{-3t}[/mm] - [mm]\bruch{1}{36}*t*e^{-3t}[/mm]
richtig?
Danke und Gruß!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 12.11.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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