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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:37 Mo 05.11.2018 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem mithilfe der Inversen Laplace Transformation:
y ''(t) - 6y'(t) +9y(t) = [mm] t*e^{-3t}
[/mm]
mit y(0) = 1 und y'(0) = - 3 |
Moin Moin,
ich habe eine Frage zur Rücktransformation, nämlich wie ich die zugehörige Funktion finden kann s.u.
1. Ich bilde die Laplace-Transformation
y ''(t) - 6y'(t) +9y(t) = [mm] t*e^{-3t}
[/mm]
Für die rechte Seite liefert die Tabelle f(t) = [mm] t*e^{at} [/mm] <---> F(s) = [mm] \bruch{1}{(s-a)^2}
[/mm]
[mm] (s^2*Y(s) [/mm] -s*y(0) - y'(0)) -6*(s*(Y(s)-y(0)) +9*Y(s) = [mm] \bruch{1}{(s-(-3))^2}
[/mm]
[mm] (s^2*Y(s) [/mm] -s*1 - (-3)) -6*(s*(Y(s) -1) +9*Y(s) = [mm] \bruch{1}{(s+3))^2}
[/mm]
[mm] s^2*Y(s) [/mm] -s +3 -6s*Y(s) +6 +9*Y(s) = [mm] \bruch{1}{(s+3)^2}
[/mm]
[mm] s^2*Y(s) [/mm] -6s*Y(s) +9*Y(s) = [mm] \bruch{1}{(s+3)^2} [/mm] +s -9
[mm] Y(s)*[s^2 [/mm] -6s +9] = [mm] \bruch{1}{(s+3)^2} [/mm] +s -9
[mm] Y(s)*(s-3)^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{(s+3)^2} [/mm] +s -9
Y(s) = [mm] \bruch{1}{(s+3)^2*(s-3)^2} +\bruch{s}{(s-3)^2} [/mm] - [mm] \bruch{9}{(s-3)^2}
[/mm]
2. Ich bilde die Inverse Laplace Transformation
[mm] L^{-1} [/mm] (Y(s)) = [mm] L^{-1} (\bruch{1}{(s+3)^2*(s-3)^2}) +L^{-1} (\bruch{s}{(s-3)^2}) [/mm] - [mm] L^{-1}(\bruch{9}{(s-3)^2})
[/mm]
2.1. [mm] L^{-1} [/mm] (Y(s)) = y(t)
2.2. [mm] L^{-1} (\bruch{1}{(s+3)^2*(s-3)^2}) [/mm]
Für diesen Summanden finde ich keine Entsprechung in der Tabelle.
Ich erkenne zwar, dass dieser Ausdruck die 3. binomische Formel enthält, insofern könnte ich natürlich auch schreiben
[mm] L^{-1} (\bruch{1}{((s+3)(s-3))^2}) [/mm]
[mm] L^{-1} (\bruch{1}{(s^2-9)^2}) [/mm]
aber auch hierfür finde ich nichts in der Tabelle.
Ergänzung
Idee 1
Ich habe mittlerweile in einer Tabelle gefunden
[mm] \bruch{a^3}{(s^2-a^2)^2} [/mm] <---> [mm] \bruch{1}{2}*[sinh(at) [/mm] +at*cosh(at)]
...aber leider nicht [mm] \bruch{1}{(s^2-9)^2}... [/mm] dennoch...
Könnte ich vielleicht den fehlenden Faktor zunächst hinzufügen und durch Multiplikation wieder egalisieren? Also
[mm] L^{-1} (\bruch{1}{(s^2-9)^2}) [/mm]
[mm] L^{-1} (\bruch{1}{(s^2-3^2)^2}) [/mm]
[mm] L^{-1} \bruch{1}{3^3}*\bruch{3^3}{(s^2-3^2)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3^3}*L^{-1} (\bruch{3^3}{(s^2-3^2)^2}) [/mm]
und dann wäre... [mm] \bruch{1}{3^3}*\bruch{1}{2}*[sinh(3t) [/mm] +3t*cosh(3t)]
[mm] \bruch{1}{54}*[sinh(3t) [/mm] +3t*cosh(3t)]
???
Ist das richtig?
Gibt es mglw. Tabellen im Internet, die diesen Ausdruck enthalten [mm] \bruch{1}{(s^2-9)^2}) [/mm] ?
Gibt es vielleicht ein deutsches (!) Onlineprogramm, mit dem man solche Ausdrücke berechnen lassen kann; also die Inverse Laplace-Transformation in die Originalfunktion umwandelt?
[Anmerkung: wolfram alpha liefert kein Ergebnis nach "computing"; https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=7c762190486dfb47dca59a9a1f8cb1a8 mit Inverse Laplace transform of [mm] 1/(s^2-9)^2 [/mm] ; Variable of function s; Time variable t. ]
Idee 2
Gesucht ist ja...
[mm] L^{-1} (\bruch{1}{(s+3)^2(s-3)^2}) [/mm]
Könnte ich diesen Term in zwei Faktoren aufspalten und von den Faktoren die Umkehrfunktion bilden?
Also... [mm] L^{-1} (\bruch{1}{(s+3)^2})*L^{-1}(\bruch{1}{(s-3)^2}) [/mm]
In der Tabelle finde ich
[mm] \bruch{1}{(s+a)^2} [/mm] <---> [mm] t*e^{-at}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{(s-a)^2} [/mm] <---> [mm] t*e^{at}
[/mm]
= [mm] t*e^{-3t}*t*e^{3t} [/mm]
= [mm] t^2 [/mm]
Die Einfachheit des Ergebnisses ist ja sympathisch, aber stimmt das überhaupt???
***
2.3. [mm] L^{-1} (\bruch{s}{(s-3)^2}) [/mm]
Die Tabelle liefert zu f(t) = [mm] (1+at)*e^{at} [/mm] <---> F(s) = [mm] \bruch{s}{(s-a)^2}
[/mm]
[mm] L^{-1} (\bruch{s}{(s-3)^2}) [/mm] = [mm] (1+3t)*e^{3t} [/mm]
2.4. - [mm] L^{-1}(\bruch{9}{(s-3)^2}) [/mm]
Die Tabelle liefert zu f(t) = [mm] t*e^{at} [/mm] <---> F(s) = [mm] \bruch{1}{(s-a)^2}
[/mm]
- [mm] L^{-1}(\bruch{9}{(s-3)^2}) [/mm] = - [mm] 9*t*e^{3t}
[/mm]
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 07.11.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Fr 22.02.2019 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem mithilfe der Inversen Laplace Transformation:
y ''(t) - 6y'(t) +9y(t) = $ [mm] t\cdot{}e^{-3t} [/mm] $
mit y(0) = 1 und y'(0) = - 3 |
Moin Moin,
*** aktuelle Fassung ***
1. Ich bilde die Laplace-Transformation
y ''(t) - 6y'(t) +9y(t) = $ [mm] t\cdot{}e^{-3t} [/mm] $
Für die rechte Seite liefert die Tabelle f(t) = $ [mm] t\cdot{}e^{at} [/mm] $ <---> F(s) = $ [mm] \bruch{1}{(s-a)^2} [/mm] $
$ [mm] (s^2\cdot{}Y(s) [/mm] $ -s*y(0) - y'(0)) -6*(s*(Y(s)-y(0)) +9*Y(s) = $ [mm] \bruch{1}{(s-(-3))^2} [/mm] $
$ [mm] (s^2\cdot{}Y(s) [/mm] $ -s*1 - (-3)) -6*(s*(Y(s) -1) +9*Y(s) = $ [mm] \bruch{1}{(s+3))^2} [/mm] $
$ [mm] s^2\cdot{}Y(s) [/mm] $ -s +3 -6s*Y(s) +6 +9*Y(s) = $ [mm] \bruch{1}{(s+3)^2} [/mm] $
$ [mm] s^2\cdot{}Y(s) [/mm] $ -6s*Y(s) +9*Y(s) = $ [mm] \bruch{1}{(s+3)^2} [/mm] $ +s -9
$ [mm] Y(s)\cdot{}[s^2 [/mm] $ -6s +9] = $ [mm] \bruch{1}{(s+3)^2} [/mm] $ +s -9
$ [mm] Y(s)\cdot{}(s-3)^2 [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{(s+3)^2} [/mm] $ +s -9
Y(s) = $ [mm] \bruch{1}{(s+3)^2\cdot{}(s-3)^2} +\bruch{s}{(s-3)^2} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{9}{(s-3)^2} [/mm] $
2. Ich bilde die Inverse Laplace Transformation
$ [mm] L^{-1} [/mm] $ (Y(s)) = $ [mm] L^{-1} (\bruch{1}{(s+3)^2\cdot{}(s-3)^2}) +L^{-1} (\bruch{s}{(s-3)^2}) [/mm] $ - $ [mm] L^{-1}(\bruch{9}{(s-3)^2}) [/mm] $
2.1. $ [mm] L^{-1} [/mm] $ (Y(s)) = y(t)
2.2. $ [mm] L_1^{-1} (\bruch{1}{(s+3)^2\cdot{}(s-3)^2}) [/mm] $ = [mm] \bruch{1}{(s^2-3^2)^2}
[/mm]
GEFUNDEN !!
Die Korrespondenztabelle liefert zu f(t) = [mm] \bruch{a*t*cosh(at)-sinh(at)}{2*a^3} [/mm] <---> F(s) = [mm] \bruch{1}{(s^2-a^2)^2} [/mm]
(50)
[mm] L_1^{-1} (\bruch{1}{(s^2-3^2)^2}) [/mm] = [mm] \bruch{3*t*cosh(3t)-sinh(3t)}{2*3^3}
[/mm]
2.3. [mm] L_2^{-1} (\bruch{s}{(s-3)^2}) [/mm]
Die Korrespondenztabelle liefert zu f(t) = $ [mm] (1+at)\cdot{}e^{at} [/mm] $ <---> F(s) = $ [mm] \bruch{s}{(s-a)^2} [/mm] $
(8)
$ [mm] L_2^{-1} (\bruch{s}{(s-3)^2}) [/mm] $ = $ [mm] (1+3t)\cdot{}e^{3t} [/mm] $
2.4. - $ [mm] L_3^{-1}(\bruch{9}{(s-3)^2}) [/mm] $
Die Korrespondenzabelle liefert zu f(t) = $ [mm] t\cdot{}e^{at} [/mm] $ <---> F(s) = $ [mm] \bruch{1}{(s-a)^2} [/mm] $
(6)
- $ [mm] L_3^{-1}(\bruch{9}{(s-3)^2}) [/mm] $ = - $ [mm] 9\cdot{}t\cdot{}e^{3t} [/mm] $
Endergebnis
f(t) = [mm] \bruch{3*t*cosh(3t)-sinh(3t)}{2*3^3} [/mm] + [mm] (1+3t)\cdot{}e^{3t} -9*t*e^{3t}
[/mm]
richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Sa 23.02.2019 | | Autor: | chrisno |
Moin, ich nehme Dein Endergebnis
$f(t) = [mm] \bruch{3\cdot{}t\cdot{}cosh(3t)-sinh(3t)}{2\cdot{}3^3} [/mm] + [mm] (1+3t)\cdot{}e^{3t} -9\cdot{}t\cdot{}e^{3t} [/mm] = [mm] \bruch{3\cdot t\cdot \cosh(3t)-\sinh(3t)}{2\cdot 3^3} -6\cdot t\cdot e^{3t} [/mm] + [mm] e^{3t}$
[/mm]
und leite einmal ab
$f'(t) = [mm] \bruch{3 \cdot \cosh(3t) + 9\cdot t\cdot \sinh(3t) - 3\cosh(3t)}{2\cdot 3^3} [/mm] -6 [mm] e^{3t} [/mm] -2 [mm] \cdot 3^2 \cdot t\cdot{}e^{3t} [/mm] + [mm] 3e^{3t} [/mm] = [mm] \bruch{ 9\cdot t\cdot \sinh(3t) }{2\cdot 3^3} [/mm] -2 [mm] \cdot 3^2 \cdot t\cdot{}e^{3t} [/mm] - [mm] 3e^{3t}$
[/mm]
ich leite noch einmal ab
$f''(t) = [mm] \bruch{9 \cdot \sinh(3t) + 3^3\cdot t\cdot \cosh(3t)}{2\cdot 3^3} [/mm] -2 [mm] \cdot 3^2 e^{3t} [/mm] -2 [mm] \cdot 3^3 \cdot [/mm] t [mm] \cdot{}e^{3t} -9e^{3t}$
[/mm]
Nun nehme ich die linke Seite der Differentialgleichung
$y ''(t) - 6y'(t) +9y(t) = [mm] t\cdot e^{-3t} [/mm] $
und betrachte die Terme mit [mm] $t\cdot e^{-3t}$
[/mm]
$-2 [mm] \cdot 3^3 e^{3t} [/mm] -6 (-2 [mm] \cdot 3^2 \cdot t\cdot{}e^{3t}) [/mm] +9 [mm] (-6\cdot t\cdot e^{3t})=0$
[/mm]
Es soll aber [mm] $t\cdot e^{-3t}$ [/mm] herauskommen. Also habe entweder ich mich verrechnet oder Du oder wir beide.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 So 24.02.2019 | | Autor: | hase-hh |
Moin Moin,
interessante Proberechnung!
Es mag sein... aber
ich erhalte nach deiner Rechnung:
t*cosh(3t) - t*sinh(3t)
= t*(cosh(3t) - sinh(3t))
Es gilt m.W.
cosh(3t) = [mm] \bruch{1}{2}*(e^{3t} [/mm] + [mm] e^{-3t}) [/mm]
sinh(3t) = [mm] \bruch{1}{2}*(e^{3t} [/mm] - [mm] e^{-3t}) [/mm]
= [mm] t*(\bruch{1}{2}*(e^{3t} [/mm] + [mm] e^{-3t}) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*(e^{3t} [/mm] - [mm] e^{-3t})) [/mm]
= [mm] t*e^{-3t} [/mm]
?!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 So 24.02.2019 | | Autor: | chrisno |
Du hast recht, ich habe übersehen, dass aus den cosh/sinh Termen noch solche Ausdrücke kommen können. Als nächstes werde ich also komplett nachprüfen, ob f(t) die DGL erfüllt. Das kannst Du natürlich auch selbst machen. Bei mir dauert es etwas, bis ich genug Zeit dafür habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 So 24.02.2019 | | Autor: | chrisno |
Nun habe ich doch zwischendurch Zeit gehabt.
Nach meiner Rechnung erfüllt f(t) die DGL und die Anfangsbedingungen.
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