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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Inverse 2 x 2 Matrizen
Inverse 2 x 2 Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Inverse 2 x 2 Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:11 Di 22.05.2012
Autor: mathemaus2010

Aufgabe
Sei K ein Körper und A = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \in K^{2,2} [/mm] mit ad−bc [mm] \not= [/mm] 0. Zeigen Sie ohne die Produkte [mm] A^{-1}A [/mm] oder [mm] AA^{-1} [/mm] zu benutzen, dass A invertierbar ist mit
[mm] A^{-1} [/mm] = (ad − [mm] bc)^{-1} \pmat{ d & -b \\ -c & a } [/mm] .

Hallo liebes Forum =) ,

könnt ihr mir bitte helfen. Ich weiß, warum gelten muss ad−bc [mm] \not= [/mm] 0. Und wenn man die Produkte [mm] A^{-1}A [/mm] oder [mm] AA^{-1} [/mm] verwenden würde, dann macht das ja auch Sinn. Aber ohne diese Produkte habe ich echt überhaupt keine Ahnung, wie ich das zeigen soll. HILFE!!!

Danke schonmal im voraus =) ...

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Inverse 2 x 2 Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:21 Di 22.05.2012
Autor: schachuzipus

Hallo mathemaus2010,


> Sei K ein Körper und A = [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \in K^{2,2}[/mm]
> mit ad−bc [mm]\not=[/mm] 0. Zeigen Sie ohne die Produkte [mm]A^{-1}A[/mm]
> oder [mm]AA^{-1}[/mm] zu benutzen, dass A invertierbar ist mit
>  [mm]A^{-1}[/mm] = (ad − [mm]bc)^{-1} \pmat{ d & -b \\ -c & a }[/mm] .
>  Hallo liebes Forum =) ,
>  
> könnt ihr mir bitte helfen. Ich weiß, warum gelten muss
> ad−bc [mm]\not=[/mm] 0. Und wenn man die Produkte [mm]A^{-1}A[/mm] oder
> [mm]AA^{-1}[/mm] verwenden würde, dann macht das ja auch Sinn. Aber
> ohne diese Produkte habe ich echt überhaupt keine Ahnung,
> wie ich das zeigen soll. HILFE!!!

Na, wie rechnet man denn eine Inverse ganz zu Fuß aus?

Schreibe dir die Einheitsmatrix neben die gegebene Matrix A und überführe A in die Einheitsmatrix (wenn möglich bzw. während der Umformungen wirst du sehen, welche Bedingungen du an [mm]a,b,c,d[/mm] stellen musst)

Führe alle Umformungen, die du an A vorgenommen hast, in derselben Reihenfolge auch an der nebenstehenden Einheitsmatrix durch und du hast die gesuchte Inverse...


>  
> Danke schonmal im voraus =) ...
>  
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Inverse 2 x 2 Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:59 Di 22.05.2012
Autor: mathemaus2010

das habe ich schon gemacht, aber das hilft mir auch nicht wirklich weiter...

[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] und [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm]  

--> [mm] M_{1} [/mm] ( [mm] a^{-1} [/mm] )

[mm] \pmat{ 1 & \bruch{b}{a} \\ c & d} [/mm] und [mm] \pmat{ \bruch{1}{a} & 0 \\ 0 & 1 } [/mm]
[mm] ---->G_{1,2} [/mm] (-c)

[mm] \pmat{ 1 & \bruch{b}{a} \\ 0 & d- \bruch{bc}{a} } [/mm] und [mm] \pmat{ \bruch{1}{a} & 0 \\ \bruch{c}{a} & 1 } [/mm]

Das sagt mir nun, dass ad-bc [mm] \not= [/mm] 0 , damit es halt eine Einheitsmatrix ist und somit invertierbar, aber das ist ja schon gegeben und muss ich nicht noch mal zeigen. Momentan hat die umgeformte Einheitsmatrix noch nichts mit dem zu tun, was ich eigentlich heraus bekommen soll?!? Hilfe ^^

Bezug
                        
Bezug
Inverse 2 x 2 Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:30 Di 22.05.2012
Autor: barsch

Hallo!


> das habe ich schon gemacht, aber das hilft mir auch nicht
> wirklich weiter...

Du hast die Rechnung ja auch noch nicht beendet.

>  
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] und [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]  
>
> --> [mm]M_{1}[/mm] ( [mm]a^{-1}[/mm] )
>  
> [mm]\pmat{ 1 & \bruch{b}{a} \\ c & d}[/mm] und [mm]\pmat{ \bruch{1}{a} & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>  
> [mm]---->G_{1,2}[/mm] (-c)
>  
> [mm]\pmat{ 1 & \bruch{b}{a} \\ 0 & d- \bruch{bc}{a} }[/mm] und [mm]\pmat{ \bruch{1}{a} & 0 \\ \bruch{c}{a} & 1 }[/mm]


Und weiter...?

Am Ende muss links die Einheitsmatrix stehen. Also, so etwas:

[mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] und [mm]\pmat{ \star & \star \\ \star & \star } [/mm]




>  
> Das sagt mir nun, dass ad-bc [mm]\not=[/mm] 0 , damit es halt eine
> Einheitsmatrix ist und somit invertierbar, aber das ist ja
> schon gegeben und muss ich nicht noch mal zeigen. Momentan
> hat die umgeformte Einheitsmatrix noch nichts mit dem zu
> tun, was ich eigentlich heraus bekommen soll?!? Hilfe ^^

Gruß
barsch


Bezug
                                
Bezug
Inverse 2 x 2 Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:41 Di 22.05.2012
Autor: mathemaus2010

ja danke, ist eigentlich nicht schwer... einfach weiter umformen ^^

Bezug
                        
Bezug
Inverse 2 x 2 Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:43 Di 22.05.2012
Autor: fred97


> das habe ich schon gemacht, aber das hilft mir auch nicht
> wirklich weiter...
>  
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] und [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]  
>
> --> [mm]M_{1}[/mm] ( [mm]a^{-1}[/mm] )
>  
> [mm]\pmat{ 1 & \bruch{b}{a} \\ c & d}[/mm] und [mm]\pmat{ \bruch{1}{a} & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]

Hier solltest Du aber die Fälle a=0 und a [mm] \ne [/mm] 0 unterscheiden !

FRED

>  
> [mm]---->G_{1,2}[/mm] (-c)
>  
> [mm]\pmat{ 1 & \bruch{b}{a} \\ 0 & d- \bruch{bc}{a} }[/mm] und
> [mm]\pmat{ \bruch{1}{a} & 0 \\ \bruch{c}{a} & 1 }[/mm]
>  
> Das sagt mir nun, dass ad-bc [mm]\not=[/mm] 0 , damit es halt eine
> Einheitsmatrix ist und somit invertierbar, aber das ist ja
> schon gegeben und muss ich nicht noch mal zeigen. Momentan
> hat die umgeformte Einheitsmatrix noch nichts mit dem zu
> tun, was ich eigentlich heraus bekommen soll?!? Hilfe ^^


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