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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Di 16.06.2009 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Sei [mm] B\in\IR^{n\times{n}} invertierbar,z,v\in\IR^n.
[/mm]
Ich soll rechnerisch zeigen, dass [mm] B^{-1}-\bruch{B^{-1}zv^TB^{-1}}{1+v^TB^{-1}z} [/mm] die Inverse der Matrix [mm] (B+zv^T) [/mm] ist, wobei [mm] v^TB^{-1}z\not={-1}. [/mm] |
Hallo,
ich habe mich bei der Aufgabe etwas festgefahren und komme nun nicht mehr weiter. Ich muss sowohl [mm] (B+zv^T)*(B^{-1}-\bruch{B^{-1}zv^TB^{-1}}{1+v^TB^{-1}z})=E [/mm] als auch [mm] (B^{-1}-\bruch{B^{-1}zv^TB^{-1}}{1+v^TB^{-1}z})*(B+zv^T)=E [/mm] zeigen.
Ich komme bereits bei der ersten Richtung nicht weiter:
[mm] (B+zv^T)*(B^{-1}-\bruch{B^{-1}zv^TB^{-1}}{1+v^TB^{-1}z})
[/mm]
[mm] =\red{B}B^{-1}-\bruch{\red{B}*B^{-1}zv^TB^{-1}}{1+v^TB^{-1}z}+\red{zv^T}B^{-1}-\bruch{\red{zv^T}B^{-1}zv^TB^{-1}}{1+v^TB^{-1}z}
[/mm]
[mm] =\red{E}-\bruch{\red{E}zv^TB^{-1}}{1+v^TB^{-1}z}+zv^TB^{-1}-\bruch{zv^TB^{-1}zv^TB^{-1}}{1+v^TB^{-1}z}
[/mm]
[mm] =E-\bruch{zv^TB^{-1}\red{E}}{1+v^TB^{-1}z}+zv^TB^{-1}-\bruch{zv^TB^{-1}zv^TB^{-1}}{1+v^TB^{-1}z}
[/mm]
[mm] =E+zv^TB^{-1}-zv^TB^{-1}(\bruch{\red{E}+zv^TB^{-1}}{1+v^TB^{-1}z})
[/mm]
Jetzt komme ich einfach nicht weiter. Vielleicht habe ich aber auch Rechenregeln für Matrizen falsch angewandt?
Wäre schön, wenn jemand eine Idee hat.
Gruß barsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Di 16.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
setze [mm] $\alpha=1+v^TB^{-1}z$, $\alpha-1=v^TB^{-1}z$. [/mm] Dann gilt
$ [mm] E-\bruch{zv^TB^{-1}\red{E}}{1+v^TB^{-1}z}+zv^TB^{-1}-\bruch{zv^TB^{-1}zv^TB^{-1}}{1+v^TB^{-1}z} =E+(-\bruch{E}{\alpha}+E-\bruch{\alpha-1}{\alpha}E)zv^TB^{-1} [/mm] $.
Mehr musst du nicht zeigen, denn jede rechtsinverse Matrix ist auch linksinvers.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 Di 16.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hallo,
danke ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
> Mehr musst du nicht zeigen, denn jede rechtsinverse Matrix
> ist auch linksinvers.
Ich dachte erst, ich muss sowohl $ [mm] (B+zv^T)\cdot{}(B^{-1}-\bruch{B^{-1}zv^TB^{-1}}{1+v^TB^{-1}z})=E [/mm] $ als auch $ [mm] (B^{-1}-\bruch{B^{-1}zv^TB^{-1}}{1+v^TB^{-1}z})\cdot{}(B+zv^T)=E [/mm] $ zeigen, da Matrizen i.A. nicht kommutativ sind. Aber für eine invertierbare Matrix A gilt natürlich [mm] A*A^{-1}=A^{-1}*A.
[/mm]
Okay, danke.
Gruß barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Di 16.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hallo,
eine kurze Rückfrage habe ich doch.
> Moin,
>
> setze [mm]\alpha=1+v^TB^{-1}z[/mm], [mm]\alpha-1=v^TB^{-1}z[/mm]. Dann gilt
>
> [mm]E-\bruch{zv^TB^{-1}\red{E}}{1+v^TB^{-1}z}+zv^TB^{-1}-\bruch{zv^TB^{-1}zv^TB^{-1}}{1+v^TB^{-1}z} =E+(-\bruch{E}{\alpha}+E-\bruch{\alpha-1}{\alpha}E)zv^TB^{-1} [/mm].
Ich setze es mal rückwärts ein:
[mm] E+(-\bruch{E}{\alpha}+E-\bruch{\alpha-1}{\alpha}E)zv^TB^{-1}
[/mm]
[mm] =E+(-\bruch{E}{1+v^TB^{-1}z}+E-\bruch{v^TB^{-1}z}{1+v^TB^{-1}z}E)zv^TB^{-1}
[/mm]
[mm] =E-\bruch{zv^TB^{-1}}{1+v^TB^{-1}z}+zv^TB^{-1}-\bruch{\red{v^TB^{-1}zzv^TB^{-1}}}{1+v^TB^{-1}z}
[/mm]
Es muss aber im Nenner heißen: [mm] v^TB^{-1}zv^TB^{-1}z [/mm] und [mm] zv^TB^{-1}\not={v^TB^{-1}z}, [/mm] denn ersteres ist meines Erachtens eine Matrix, während letzteres eine Zahl ist - Wo liegt mein Denkfehler?
Danke
Gruß barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Di 16.06.2009 | | Autor: | luis52 |
> Hallo,
>
> eine kurze Rückfrage habe ich doch.
>
Ich habe mich an deiner Herleitung orientiert:
$ [mm] (B+zv^T)\cdot{}(B^{-1}-\bruch{B^{-1}zv^TB^{-1}}{1+v^TB^{-1}z}) [/mm] $
$ [mm] =\red{B}B^{-1}-\bruch{\red{B}\cdot{}B^{-1}zv^TB^{-1}}{1+v^TB^{-1}z}+\red{zv^T}B^{-1}-\bruch{\red{zv^T}B^{-1}zv^TB^{-1}}{1+v^TB^{-1}z} [/mm] $
$ [mm] =\red{E}-\bruch{\red{E}zv^TB^{-1}}{1+v^TB^{-1}z}+zv^TB^{-1}-\bruch{zv^TB^{-1}zv^TB^{-1}}{1+v^TB^{-1}z} [/mm] $
$ [mm] =E-\bruch{zv^TB^{-1}\red{E}}{1+v^TB^{-1}z}+zv^TB^{-1}-\bruch{zv^TB^{-1}zv^TB^{-1}}{1+v^TB^{-1}z} [/mm] $
> Ich setze es mal rückwärts ein:
>
> [mm]E+(-\bruch{E}{\alpha}+E-\bruch{\alpha-1}{\alpha}E)zv^TB^{-1}[/mm]
>
> [mm]=E+(-\bruch{E}{1+v^TB^{-1}z}+E-\bruch{v^TB^{-1}z}{1+v^TB^{-1}z}E)zv^TB^{-1}[/mm]
>
> [mm]=E-\bruch{zv^TB^{-1}}{1+v^TB^{-1}z}+zv^TB^{-1}-\bruch{\red{v^TB^{-1}zzv^TB^{-1}}}{1+v^TB^{-1}z}[/mm]
>
> Es muss aber im Nenner heißen: [mm]v^TB^{-1}zv^TB^{-1}z[/mm]
Wieso denn das? (Meinst du Zaehler?) Die letzten beiden Zeilen
deines "Rueckschritts" stimmt doch mit der letzten Zeile oben
ueberein ... ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Mi 17.06.2009 | | Autor: | luis52 |
>
> Wo liegt mein (Denk-)Fehler?
Bedenke: [mm] $v^TB^{-1}z$ [/mm] ist ein *Skalar*. Den darfst du hinter das $z_$ ziehen.
>
> > ...
>
> mir geht es genauso.
Immer noch?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 Mi 17.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> > > ...
> >
> > mir geht es genauso.
>
> Immer noch?
nein, jetzt habe ich es verstanden. Danke
> vg Luis
Gruß barsch
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![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]"){kind=small}
