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Hallo folgende Aufgabe bringt mich zur Verzweiflung:
Es sei [mm] A = [a_{ij}] \in \IR^2^{,2} [/mm] mit [mm] a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \not= 0 [/mm]
Zeigen Sie: Die Matrix [mm] \bruch{1}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \pmat{ a_{22} & - a_{12}\\ -a_{21} & a_{11}} [/mm] ist die inverse Matrix von A.
Wie muß ich da rangehen ?? gleichstellen ? oder wie ?? *grübel* Was ist überhaupt eine INverse ? Das kam bei uns nicht dran , erste nächste Woche aber jetzt schon aufgaben dazu *kopfschüttel*
Und noch was dazu :
Zeigen sie, dass die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm] keine INverse besitzt.
Vielen Dank
Christinchen
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Hallo Christinchen!
Gaaaanz ruhig bleiben, durchatmen und nicht verzweifeln.  Ist alles halb so wild.
Also, ihr habt doch bestimmt in der Vorlesung besprochen, wie man Matrizen miteinander multipliziert, richtig? Das ist eine etwas gewöhnungsbedürftige Regel, aber sie erweist sich als ungeheuer praktisch.
Nun gibt es eine Matrix, die bei Multiplikation nichts ändert, die sogenannte Einheitsmatrix. Im Fall von $(2 [mm] \times [/mm] 2)-Matrizen sieht das so aus:
[mm] $\pmat{a&b\\c&d} \pmat{1&0\\0&1} [/mm] = [mm] \pmat{a&b\\c&d}$
[/mm]
Und ebenso, wenn ich diese Einheitsmatrix von der anderen Seite dranmulitpliziere.
Eine beliebige Matrix $A$ heißt nun "invertierbar", wenn es eine Matrix $A'$ gibt, so dass gilt:
$A [mm] \cdot [/mm] A' = [mm] \pmat{1&0\\0&1}$
[/mm]
Das hat man aus dem Reich der Zahlen "entlehnt": denke an die reellen Zahlen! Da gibt es auch ein "neutrales" Element der Multiplikation, nämlich die 1. Wenn ich eine reelle Zahl mit 1 multipliziere, ändert sie sich nicht.
Und alle reellen Zahlen $a$ haben ein "Inverses" [mm] $\frac{1}{a}$ [/mm] mit $a [mm] \cdot \frac{1}{a} [/mm] = 1$. Alle reellen Zahlen? Nein! Es gibt eine unbeugsame 0, die sich der Invertierung standhaft widersetzt - denn durch 0 kann man nicht teilen!
Bei Matrizen ist dies noch drastischer. Nicht nur die Nullmatrix widersetzt sich, sondern es gibt noch andere Matrizen, die einfach kein "Inverses" haben.
Zu Deiner Aufgabe: für den ersten Teil genügt es, wenn Du "die Probe machst". Soll heißen: multipliziere $A$ mit der genannten Matrix und stelle fest, dass wirklich die Einheitsmatrix herauskommt. Fertig!
Für den zweiten Teil: am besten überlegst Du Dir, wie eine inverse Matrix aussehen müßte und weist dann nach, dass es sie nicht gibt. Im Klartext: schreibe Dir so etwas auf:
[mm] $\pmat{1&1\\1&1} \pmat{a&b\\c&d} [/mm] = [mm] \pmat{1&0\\0&1}$
[/mm]
Dadurch erhältst Du ein Gleichungssystem für $a,b,c,d$ - wenn Du zeigen kannst, dass dieses keine Lösung hat, bist Du fertig.
Viel Glück!
Lars
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Stx |
..bei deiner zweiten Frage geht es auch einfacher wenn dir der Begriff der Determinante geläufig ist!
Wenn die Determinante einer quadratischen Matrix gleich 0 ist,
also det(A) = 0 ist sie nicht invertierbar!
Du berechnest einfach die Determinante und verweist auf obigen Satz (H.Anton - Lineare Algebra Satz 2.3.3) und fertig!
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