Invarianz der Transinformation < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige, dass die Transinformation invariant unter Transformation ist.
Gemeint ist hierbei die Transinformation über das Shannonsche Informationsmaß:
[mm] \integral_{\IR^2}^{}{s(x,y) ld \bruch{s(x,y)}{p(x) q(y)} dx dy}
[/mm]
Dabei ist s die Verbundswahrscheinlichkeitsdichte und p und q die jeweilligen Randdichten.
Die Transformation lautet X [mm] \to [/mm] P(X) = X* bzw. Y [mm] \to [/mm] Q(Y) = Y*.
Dieses Integral soll nun von [mm] \IR^2 [/mm] auf [mm] [0,1]\times[0,1] [/mm] transformiert werden.
Die Transformationsvorschrift ist P(a) = [mm] \integral_{-\infty}^{a}{p(x) dx}. [/mm] (P ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung) |
Aus der Transformationsforschrift erhalte ich durch Ableiten die Beziehung [mm] p(x)=\bruch{\partial P(x)}{\partial x}.
[/mm]
Das transformierte Integral lautet
[mm] \integral_{[0,1]^2}^{}{s^\*(x^\*,y^\*) ld \bruch{s^\*(x^\*,y^\*)}{p(P(x)) *q(Q(y))}* \mathcal{J} dx^\* dy^\*}
[/mm]
mit der Jacobideterminante [mm] \mathcal{J}.
[/mm]
Die Transformation soll gerade so aussehen, dass der Nenner im Logarithmus verschwindet, also 1 wird.
Nur scheitere ich daran, die Det [mm] \frac{\partial(x,y)}{\partial(x^\*,y^\*)} [/mm] auszurechnen.
Kurzum: Ich soll zeigen, dass p und q nach Transformation gleichverteilt sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Di 21.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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