Invariante Maße - Markoff < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
angenommen ich habe eine Markoff-Kette gegeben durch die Matrix [mm] $\mathbb{P}$ [/mm] aus Übergangskernen und suche die invariante Verteilung.
Die Potenzen von [mm] $\mathbb{P}$ [/mm] lassen sich nicht einfach bestimmen. Es handelt sich um eine irreduzible Kette mit Periobe 1. Wenn ich herausfinden möchte, ob die Kette Null, positiv oder nicht-rekurrent ist, habe ich da einen einfacheren Weg als das Gleichungssystem [mm]\mathbb{Q}=\mathbb{Q}^T \mathbb{P}[/mm] zu lösen, wobei [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] die invarianten Maße $q(i)$ von Zustand i enthalten und dann zu schauen ob es aufgeht oder nicht?
Danke schonmal!
lg Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Mi 30.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
auf die Gefahr hin, daß ich hier gerade was grob mißverstehe, aber Du suchst doch nur einen Vektor q, der
[mm] $q^t=q^tP$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow\ q^t(P-E)=0$
[/mm]
erfüllt. Sofern das LGS eine nicht-negative Lösung hat (was man bei einem LGS leicht herausfinden kann), kannst Du die skalieren, so daß q eine WVerteilung ist.
ciao
Stefan
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Ja genau so hab ich das gemeint. Aber wenn ich mich frage ob die Markoff-Kette rekurrent oder non-rekurrent ist, dann muss ich das erst ausrechnen, also ich kann es der Matrix nicht "ansehen".
Das wollte ich wissen - aber das hat sich jetzt eh erledigt da ja im endlichen Zustandsraum immer positive rekurrenz sein muss.
Wenn ich jetzt "unendliche" Matrizen hab muss ich genauso rangehen oder?
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 Do 31.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
so zuversichtlich, wie Du von *der* invarianten Verteilung geschrieben hast, ging ich davon aus, daß Du Dich um die Details kümmerst. =)
Für unendliche Zustandsräume ist, denk ich, weder Rekurrenz noch das Lösen des LGS im allgemeinen besonders leicht. Das ganze ist schon ne Weile her, und ich bin mir absolut nicht sicher, aber ich denke Du schaust da situationsabhängig, ob Matrixpotenzen oder Übergangswkeiten allgemein eine Gesetzmäßigkeit haben, mit der Du n-Schritt Übergänge berechnen kannst.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Fr 01.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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