Intervall oder Punkt ? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Lavanya |
| Aufgabe | | Sei f :[1,2]-> [mm] \IR [/mm] eine stetige Funktion. Beweisen Sie, dass die Menge {f(x):x [mm] \in [/mm] [1,2] }entweder ein Punkt oder ein abgeschlossenes Intervall [a,b]( für reelle Zahlen a<b) ist |
Hallo ihr Lieben,
ich hoffe ihr könt mir weiter helfen..... Die Aufgabe hört sich so einfach an..... aber wirklich weiter komme ich auch nicht....
Gruß
lavanya
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Eine stetige Funktion auf einer kompakten Menge nimmt ein Maximum (nennen wir es $b$) und ein Minimum (nennen wir es $a$) an.
Im Falle $b=a$ ist die Funktion konstant und die Bildmenge ein einzelner Punkt. Jetzt zum Falle $b>a$:
Warum (Frage an dich) nimmt die Funktion $f$ jeden Punkt $c [mm] \in [/mm] [a,b]$ an? Warum ist dann also $[a,b]$ das Bild der Funktion?
Es gibt da so einen schönen Satz...
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Lavanya |
Meinst du diesen Satz?
So hab ich es in meinen Unterlagen stehen :
Sei f:(a,b)-----> [mm] \IR
[/mm]
monoton wachsend ( [mm] x_{1} [/mm] < [mm] x_{2} \Rightarrow [/mm] f( [mm] x_{1} [/mm] ) [mm] \le [/mm] f( [mm] x_{2}) [/mm]
dann gilt : Für alle [mm] \delta \in [/mm] (a,b) : f( [mm] \delta_{+}) [/mm] und f( [mm] \delta_{-})exitstieren [/mm] genauer:
f( [mm] \delta_{+} [/mm] )= inf{f(x) :x [mm] \in [/mm] ( [mm] \delta,b)}
[/mm]
f( [mm] \delta_{-} [/mm] )= sup{f(x) :x [mm] \in [/mm] (a, [mm] \delta)}
[/mm]
meinst du das , oder liege ich da total falsch?? Was kann ich damit machen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Lavanya,
> Meinst du diesen Satz?
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> So hab ich es in meinen Unterlagen stehen :
>
> Sei f:(a,b)-----> [mm]\IR[/mm]
>
> monoton wachsend ( [mm]x_{1}[/mm] < [mm]x_{2} \Rightarrow[/mm] f( [mm]x_{1}[/mm] )
> [mm]\le[/mm] f( [mm]x_{2})[/mm]
>
> dann gilt : Für alle [mm]\delta \in[/mm] (a,b) : f( [mm]\delta_{+})[/mm]
> und f( [mm]\delta_{-})exitstieren[/mm] genauer:
>
> f( [mm]\delta_{+}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
)= inf{f(x) :x [mm]\in[/mm] ( [mm]\delta,b)}[/mm]
> f( [mm]\delta_{-}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
)= sup{f(x) :x [mm]\in[/mm] (a, [mm]\delta)}[/mm]
>
> meinst du das , oder liege ich da total falsch?? Was kann
> ich damit machen ?
Der Satz bringt dir nicht viel. Deine Funktion muss ja gar nicht monoton sein. Du weißt aber, dass sie stetig ist. Stefan hat dir doch schon gesagt, dass dann, wenn a das Minimum und b das Maximum und außerdem a<b, jeder Wert zwischen a und b Funktionswert ist. Deswegen heißt der Satz, der dir das garantiert, auch Zwischenwertsatz.
Gruß
Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 Mi 14.12.2005 | | Autor: | Ernesto |
hallo Mathekollegin aus Köln ... Wissen ja : Das bild einer Kompakten Menge ist unter
einer stetigen Funktion wieder Kompakt.
1 ) Urbild Kompakt
2) Funtkion stetig
Daraus folgt : Bild Kompakt
Würde dich gerne kennen lernen bist du morgen in Ana
Gruß
Thomas
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 12:32 Do 15.12.2005 | | Autor: | Lavanya |
hi Thomas
kannst du mir bitte helfen? Das wort Kompakt höre ich jetzt zum ersten Mal. Hatten wir das in der Vorlesung?????
Hast du dich schon mit der Übung von Ana beschäftigt? Ich kenne den Zwischenwertsatz,aber weiß nicht wie ich es anwenden soll.
Wäre super lieb wenn jemand einen Ansatz machen könnte?
Gruß Lavanya
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:48 So 18.12.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Lavanya!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 So 18.12.2005 | | Autor: | susi5555 |
also ich würde gerne der frage von lavanya anschließen,denn ich weiß auch nicht was ich jetzt mit dem mws machen soll.?!?!?
was supi wenn mir jemand helfen könnt....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 Mo 19.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Wer sagt denn, dass du den Mittelwertsatz anwenden sollst?
Du kannst den Zwischenwertsatz anwenden. Dieser sagt aus, dass mit zwei Punkten $a$ und $b$ mit $a<b$ auch das ganze Intervall $[a,b]$ im Bild von $f$ liegt und das ist im Wesentlichen genau das, was zu zeigen war. 
Liebe Grüße
Stefan
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