Interpolationsfehler Lagrange < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] f \in C^{n+1}([a,b]) [/mm] und es gelte [mm] f(x_i)=y_i (i=0,...,n) [/mm]. Für die Lösung p [mm] \in P_r [/mm] der Lagrange-Interpolationsaufgabe und jedes [mm] x \in [a,b] [/mm] existiert dann ein [mm] \phi \in [/mm] [a,b], sodass gilt:
[mm] f(x)-p(x) = \bruch{f^{(n+1)}(\phi)}{(n+1)!} \produkt_{j=0}^{n} (x-x_j) [/mm].
Für den Interpolationsfehler gilt [mm] ||f-p||_{C^0([a,b])} \le \bruch{||f^{(n+1)}||_{C^0([a,b])}}{(n+1)!} (b-a)^{n+1} [/mm] |
Hallo!
Ich verstehe noch nicht, wie man auf die Abschätzung kommt.
Die linke Seite: Man nimmt durch diese Norm den größten Punkt, der durch f-p erreicht werden kann, damit die Abschätzung später nicht verfälscht wird.
Die rechte Seite: Warum man dann auch hier den größten Punkt der (n+1)-ten Ableitung von f nimmt, verstehe ich nicht.
Und woher kommt der letzte Faktor?
Kann mir hierbei jemand helfen?
Liebe Grüße,
Lily
|
|
| |
|
Hiho,
schreibe mal die Definition der [mm] $C^0$-Norm [/mm] explizit hin.
Wende dann $ f(x)-p(x) = [mm] \bruch{f^{(n+1)}(\phi)}{(n+1)!} \produkt_{j=0}^{n} (x-x_j) [/mm] $ an und bedenke, dass trivialerweise [mm] $|x-x_j| \le [/mm] (b-a)$ gilt.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
Aha!
[mm] ||f||_{C^0(I)}=max_{x \in I} |f(x)| [/mm]
Also so?
[mm] ||f-p||_{C^0([a,b])} = || \bruch{f^{(n+1)}(\phi)}{(n+1)!} \produkt_{j=0}^{n} (x-x_j)||_{C^0([a,b])} = \bruch{1}{(n+1)!} || f^{(n+1)}(\phi) \produkt_{j=0}^{n} (x-x_j)||_{C^0([a,b])} \le \bruch{1}{(n+1)!} || f^{(n+1)}(\phi)||_{C^0([a,b])} || \produkt_{j=0}^{n} (x-x_j)||_{C^0([a,b])} = \bruch{1}{(n+1)!} || f^{(n+1)}(\phi)||_{C^0([a,b])} || (b-a)^{n+1} [/mm]
Liebe Grüße,
Lily
|
|
|
| |
|
Irgendwie scheinen die Codes, die ich sonst verwende nicht zu funktionieren :-/
Weiß jemand warum? So ist das ja recht unübersichtlich...
|
|
|
| |
|
Hiho,
die Umwandlung von Code-Eingaben in Formeln ist aktuell defekt. Ist nur ein temporäres Problem… ich beantworte deine Frage aber trotzdem.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
Hiho,
> [mm]||f||_{C^0(I)}=max_{x \in I} |f(x)|[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also so?
>
> [mm]||f-p||_{C^0([a,b])} = || \bruch{f^{(n+1)}(\phi)}{(n+1)!} \produkt_{j=0}^{n} (x-x_j)||_{C^0([a,b])} = \bruch{1}{(n+1)!} || f^{(n+1)}(\phi) \produkt_{j=0}^{n} (x-x_j)||_{C^0([a,b])} \le \bruch{1}{(n+1)!} || f^{(n+1)}(\phi)||_{C^0([a,b])} || \produkt_{j=0}^{n} (x-x_j)||_{C^0([a,b])} = \bruch{1}{(n+1)!} || f^{(n+1)}(\phi)||_{C^0([a,b])} || (b-a)^{n+1}[/mm]
die Idee hast du verstanden, der Aufschrieb ist allerdings grottig.
Du schreibst pauschal immer "=" obwohl das schon beim ersten Gleichheitszeichen keinen Sinn macht.
Mach dir auch mal klar: du willst gar nicht Gleichheit zeigen, es reicht dir [mm] $\le$ [/mm] zu zeigen. Mach dir auch klar, warum eben NICHT "=" gilt, sondern oftmals nur [mm] "$\le$".
[/mm]
Desweiteren gibt es keine Schreibweise, in der man das Funktionsargument in der [mm] $C^0$-Norm [/mm] angibt.
Wieso verwendest du nicht SAUBER die Definition, dann passiert dir sowas nicht?
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 Di 19.07.2016 | | Autor: | Mathe-Lily |
Ok, vielen Dank! Ich werde in Zukunft besser darauf achten! 
|
|
|
|
