Intergral ü.e. stetige Kurve < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Fr 27.10.2006 | | Autor: | Imkeje |
| Aufgabe | Zeigen sie, dass für das Integral über eine stetige Kurve [mm] v:[a,b]\to\IR^{2} [/mm] gilt:
[mm] \parallel\(\integral_{a}^{b}{v(t) dt})\parallel \le \integral_{a}^{b}{\parallel(v(t)) \parallel dt}
[/mm]
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Kann mir bei dieser Aufgabe vielleicht jemand einen Tipp oder Hinweis geben, finde einfach keienn vernünftigen Ansatz!
Imke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Fr 27.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Imkeje,
schreib das Integral doch als Summe und bilde den Grenzwert für [mm] \Delta{t} [/mm] gegen 0 und benutzte dabei die Dreiecksungleichung für Summen, also [mm] |a+b|\le|a|+|b|. [/mm] Dann kann man das geforderte folgern.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:04 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Imkeje |
Also ich habs jetzt mal versucht, aber mir kommt das irgendwie viel zu einfach vor!
Also
[mm] \parallel \integral_{a}^{b}{v(t) dt} \parallel [/mm] =
[mm] \parallel \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} [/mm] v(ti) [mm] \Delta [/mm] t [mm] \parallel [/mm] =
[mm] \parallel \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty} [/mm] (v(t1) [mm] \Delta [/mm] t +...+ v(tn) [mm] \Delta [/mm] t ) [mm] \parallel [/mm] =
[mm] \parallel \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty} [/mm] v(t1) [mm] \Delta [/mm] t +...+ [mm] \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty} [/mm] v(tn) [mm] \Delta [/mm] t [mm] \parallel [/mm]
[mm] \le [/mm] ( Dreiecksungleichung)
[mm] \parallel \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty} [/mm] v(t1) [mm] \Delta [/mm] t [mm] \parallel [/mm] +...+ [mm] \parallel \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty} [/mm] v(tn) [mm] \Delta [/mm] t [mm] \parallel [/mm] =
[mm] \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty}( \parallel [/mm] v(t1) [mm] \Delta [/mm] t [mm] \parallel [/mm] +...+ [mm] \parallel [/mm] v(tn) [mm] \Delta [/mm] t [mm] \parallel [/mm] ) =
[mm] \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty}( \parallel [/mm] v(t1) [mm] \parallel \Delta [/mm] t +...+ [mm] \parallel [/mm] v(tn) [mm] \parallel \Delta [/mm] t ) =
[mm] \integral_{a}^{b}{ \parallel v(t) dt \parallel } [/mm]
Ist das so richtig? Bin mir da sehr unsicher?
Wenn man dies nun bewiesen hat, soll man weiter folgern, dass für eine stetig differenzierbare Kurve c: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] ^ {n} gilt
L(c) [mm] \ge \parallel [/mm] c(b) - c(a) [mm] \parallel
[/mm]
Hab mir da folgendes gedacht:
c ist stetig differenzierbar, setzte also dc/dt := v(t) , diese ist stetig und für eine stetige Kurve hat man die Behauptung doch gerade ebenbewiesen, richtig?
Zudem soll das Ergebnis geometrisch gedeutet werden!
Das muß irgendwas mit des Chauchy-Schwarz- Ungleichung zutuen haben:
v,w [mm] \in \IR [/mm] ^ {n} :
Skalarptodukt von (v,w) [mm] \le \parallel [/mm] v [mm] \parallel \parallel [/mm] w [mm] \parallel
[/mm]
Wenn dabei Gleichheit vor liegt sind v und w parallel
Ich hoffe mir kann jemand weiter helfen!
Mfg Imke
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:49 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Imkeje |
Also ich habs jetzt mal versucht, aber mir kommt das irgendwie viel zu einfach vor!
Also
[mm] \parallel \integral_{a}^{b}{v(t) dt} \parallel [/mm] =
[mm] \parallel \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} [/mm] v(ti) [mm] \Delta [/mm] t [mm] \parallel [/mm] =
[mm] \parallel \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty} [/mm] (v(t1) [mm] \Delta [/mm] t +...+ v(tn) [mm] \Delta [/mm] t ) [mm] \parallel [/mm] =
[mm] \parallel \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty} [/mm] v(t1) [mm] \Delta [/mm] t +...+ [mm] \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty} [/mm] v(tn) [mm] \Delta [/mm] t [mm] \parallel [/mm]
[mm] \le [/mm] ( Dreiecksungleichung)
[mm] \parallel \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty} [/mm] v(t1) [mm] \Delta [/mm] t [mm] \parallel [/mm] +...+ [mm] \parallel \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty} [/mm] v(tn) [mm] \Delta [/mm] t [mm] \parallel [/mm] =
[mm] \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty}( \parallel [/mm] v(t1) [mm] \Delta [/mm] t [mm] \parallel [/mm] +...+ [mm] \parallel [/mm] v(tn) [mm] \Delta [/mm] t [mm] \parallel [/mm] ) =
[mm] \limes_{ \Delta t \rightarrow\infty}( \parallel [/mm] v(t1) [mm] \parallel \Delta [/mm] t +...+ [mm] \parallel [/mm] v(tn) [mm] \parallel \Delta [/mm] t ) =
[mm] \integral_{a}^{b}{ \parallel v(t) dt \parallel } [/mm]
Ist das so richtig? Bin mir da sehr unsicher?
Wenn man dies nun bewiesen hat, soll man weiter folgern, dass für eine stetig differenzierbare Kurve c: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] ^ {n} gilt
L(c) [mm] \ge \parallel [/mm] c(b) - c(a) [mm] \parallel [/mm]
Hab mir da folgendes gedacht:
c ist stetig differenzierbar, setzte also dc/dt := v(t) , diese ist stetig und für eine stetige Kurve hat man die Behauptung doch gerade ebenbewiesen, richtig?
Zudem soll das Ergebnis geometrisch gedeutet werden!
Das muß irgendwas mit des Chauchy-Schwarz- Ungleichung zutuen haben:
v,w [mm] \in \IR [/mm] ^ {n} :
Skalarptodukt von (v,w) [mm] \le \parallel [/mm] v [mm] \parallel \parallel [/mm] w [mm] \parallel [/mm]
Wenn dabei Gleichheit vor liegt sind v und w parallel
Ich hoffe mir kann jemand weiter helfen!
Mfg Imke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 30.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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