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Forum "Algebra" - Integritätsbereich Polynomring
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Integritätsbereich Polynomring: Tipp a), Korrektur b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:30 Sa 18.11.2017
Autor: mariella22

Aufgabe
1. Sei A ein Integritätsbereich.
Beweisen Sie, dass (A[X])∗ = A∗ gilt.
2. Berechnen Sie (A[X])∗, für A = Z/12Z


A* meint die Menge der Einheiten,
A* = {a [mm] \in [/mm] A, es existiert ein b [mm] \in [/mm] A mit ab=ba=1}

ich komme bei der 1 nicht weiter.
Ich denke, man müsste die doppelte Inklusion zeigen.

Also angenommen a in A* folgt es existiert ein b mit ab = ba = 1

zu zeigen a in A(x)*

Mein Problem ist, das ich nicht verstehe wie das gemeint ist.
Polynome in A(x) wären ja der Form a0 + [mm] a_1*x [/mm] + ... + [mm] a_n*x^n [/mm]
wenn ich a in A(x)* wähle, heisst das  alle Koeffizienten sind gleich a?

Vielen Dank für die Hilfe!

bei der b.)
habe ich mir folgendes überlegt.

Z/12Z ist ein Ring mit 12 Elementen, also {0,1,2,...,11}
womit 12, 24, und alle Vielfachen von 12 wieder 0 wären

Wenn ich den Spezialfall betrachte: ein Polynom der Form:

[mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1* [/mm] x und ein Inverses Polynom der selben Form dazu suche:

sei das Inverse [mm] (b_0 [/mm] + [mm] b_1*x) [/mm]

[mm] (a_0 [/mm] + [mm] a_1* x)(b_0 [/mm] + [mm] b_1*x) [/mm] = [mm] a_0*b_0 [/mm] + [mm] a_0*b_1*x [/mm] + [mm] a_1*b_0*x [/mm] + [mm] a_1*b_1*x [/mm] = 1

dann müsste

[mm] a_0*b_0 [/mm] = 1 sein
das ist der Fall wenn [mm] a_0*b_0 \in [/mm] {1, 25,49,61, 121}
andere Zahlen = 1 sind mit der Multiplikation von Elementen aus dem Ring nicht möglich, z.B.: 13 =1 nicht möglich

Alle Terme mit x müssten 0 ergeben:

[mm] a_0*b_1 [/mm] + [mm] a_1*b_0 [/mm] =  [mm] a_1*b_1 [/mm] = 0

Das ist nur möglich wenn,
[mm] a_1 [/mm] = [mm] b_1 [/mm] = 6
oder [mm] a_1 [/mm] = [mm] b_1 [/mm] = 0

Also gibt es bei Polynomen dieser Form 2 Einheiten:
(1 + 0x) (1+ 0x) = 1
(1 + 6x)(1 + 6x) = 1 + 12 x + 36 x = 1

Übertragen auf Polynome der Form
[mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1*x [/mm] +....+ [mm] a_n*x^n [/mm]

haben diese nur ein Inverses falls

[mm] a_0 \in [/mm] {1,5,7,11} und [mm] a_i \in [/mm] {0,6} für i [mm] \in \IN [/mm]

Macht das Sinn?
Vielen Dank!

        
Bezug
Integritätsbereich Polynomring: zur 1.
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:09 So 19.11.2017
Autor: angela.h.b.


> 1. Sei A ein Integritätsbereich.
>   Beweisen Sie, dass (A[X])∗ = A∗ gilt.

> ich komme bei der 1 nicht weiter.
> Ich denke, man müsste die doppelte Inklusion zeigen.
>
> Also angenommen a in A* folgt es existiert ein [mm] b\red{\in A} [/mm] mit ab =
> ba = 1
>  
> zu zeigen a in A(x)*

Hallo,

Du meinst sicher [mm] A[X]^\{\*}. [/mm]
Es wäre gut, das dann auch so zu schreiben, das Lesen und Verstehen ist angenehmer, wenn man keinen Übersetzer braucht.

>  
> Mein Problem ist, das ich nicht verstehe wie das gemeint
> ist.

Es ist exakt so gemeint, wie es da steht: dieses a, welches Du gerade betrachtest,  ist in A[X], also ein Polynom mit Koeffizienten aus A, und es gibt ein Polynom q in A[X], so daß a*q das Einspolynom ist.

> Polynome in A(x) wären ja der Form a0 + [mm]a_1*x[/mm] + ... +
> [mm]a_n*x^n[/mm]
>  wenn ich a in A(x)* wähle, heisst das  alle Koeffizienten
> sind gleich a?

Nein. Erstens mal "wählst" Du nicht. Du willst zeigen, daß Dein oben gewähltes [mm] a\in A^{\*} [/mm] auch in A[X] ist, und daß es auch dort eine Einheit ist.

Warum ist a in A[X]? Es ist das konstante Polynom p=a, das Polynom, bei dem alle anderen Koeffizienten vor den X-Potenzen Null sind.
Nun wird es Dir leichtfallen, vorzurechnen, daß es eine Einheit ist...

LG Angela


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Integritätsbereich Polynomring: zur 1.)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:36 So 19.11.2017
Autor: mariella22

Ich habe jetzt folgendes:
Weil A Integritätsbereich folgt es existieren keine Nullteiler

Daraus folgt: deg(P+Q) = deg(P) + deg(Q) , für P, Q [mm] \in [/mm] A[x]
denn keiner der Leitkoeffizienten kann ein Nullteiler sein, da diese [mm] \in [/mm] A

1.) Sei a [mm] \in [/mm] A*
-> es existiert ein b [mm] \in [/mm] A mit ab= ba = 1
Dieses a ist in A[x], da P= a + 0x + ... + [mm] 0(x^n) [/mm] = a
Gesucht ist ein Polynom q mit a * q = 1

Grad(aq) = Grad(1) = 0
Grad(a) = 0
Daraus folgt Grad von q = 0

-> q = b


2.) Sei c [mm] \in [/mm] A[x]*
-> Es existiert in Polynom p in A[x] mit cp= 1

Grad(1) = Grad (cp) = 0
Grad(cp)= 0  = Grad (c) + Grad(p)
Damit
-> Grad(c) = Grad(p) = 0
oder Grad(c) = - Grad(p) , das geht nicht das der Grad eines Polynoms negativ nicht definiert ist.

Daraus folgt: c ist [mm] \in [/mm] A*

Stimmt das so? Danke!


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Integritätsbereich Polynomring: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Do 23.11.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Integritätsbereich Polynomring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:58 So 19.11.2017
Autor: SEcki


> ich komme bei der 1 nicht weiter.

Als zusätzlichen Tip: beachte den Grad-Satz, also [mm]\deg(f)+\deg(g)=\deg(f * g)[/mm] für beliebige Polynome f, g über Integritätsbereichen.

>

> Z/12Z ist ein Ring mit 12 Elementen, also {0,1,2,...,11}
> womit 12, 24, und alle Vielfachen von 12 wieder 0 wären

>

> Wenn ich den Spezialfall betrachte: ein Polynom der Form:

>

> [mm]a_0[/mm] + [mm]a_1*[/mm] x und ein Inverses Polynom der selben Form dazu
> suche:

Wieso muss es die gleiche Form haben?

> sei das Inverse [mm](b_0[/mm] + [mm]b_1*x)[/mm]

>

> [mm](a_0[/mm] + [mm]a_1* x)(b_0[/mm] + [mm]b_1*x)[/mm] = [mm]a_0*b_0[/mm] + [mm]a_0*b_1*x[/mm] +
> [mm]a_1*b_0*x[/mm] + [mm]a_1*b_1*x[/mm] = 1

[mm]a_1*b_1*x\red{^2}[/mm] ...

> dann müsste

>

> [mm]a_0*b_0[/mm] = 1 sein
> das ist der Fall wenn [mm]a_0*b_0 \in[/mm] {1, 25,49,61, 121}
> andere Zahlen = 1 sind mit der Multiplikation von
> Elementen aus dem Ring nicht möglich, z.B.: 13 =1 nicht
> möglich

Insbesondere ist [m]a_0[/m] eine Einheit - und das gilt für beliebige Grade eines gesuchten Inversen.

>

> Alle Terme mit x müssten 0 ergeben:

>

> [mm]a_0*b_1[/mm] + [mm]a_1*b_0[/mm] + [mm]a_1*b_1[/mm] = 0

Falsch, da siehe oben.

>

> Das ist nur möglich wenn,
> [mm]a_1[/mm] = [mm]b_1[/mm] = 6
> oder [mm]a_1[/mm] = [mm]b_1[/mm] = 0

>

> Also gibt es bei Polynomen dieser Form 2 Einheiten:
> (1 + 0x) (1+ 0x) = 1
> (1 + 6x)(1 + 6x) = 1 + 12 x + 36 x = 1

Das ist selbst ohne Folgefeheler total konfus. Wieso genau die Elemente das sein sollen, wird mir nicht klar. Wieso geht das nicht mit [m]1+3*X[/m]

>

> Übertragen auf Polynome der Form
> [mm]a_0[/mm] + [mm]a_1*x[/mm] +....+ [mm]a_n*x^n[/mm]

>

> haben diese nur ein Inverses falls

>

> [mm]a_0 \in[/mm] {1,5,7,11} und [mm]a_i \in[/mm] {0,6} für i [mm]\in \IN[/mm]

Aha. Wieso? Das musst du beweisen! (Mal abgesehen davon, dass es falsch ist.)

SEcki

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Integritätsbereich Polynomring: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:40 So 19.11.2017
Autor: mariella22

Hallo,
danke für die Antwort.
Die Polynome müssen nicht dieselbe Form haben, ich habe mir es nur an diesem Beispiel überlegt.
Das mit [mm] x^2 [/mm] war ein Schreibfehler, tut mir leid.
(1 + 3x) (1 + 3x) = 1 + 6x + 9 [mm] X^2 [/mm]
und da 6 und 9 ungleich null, ist es kein Inverses.
(1 + 6x) (1 + 6x) = 1 + 12x + 36 [mm] x^2 [/mm] = 1
Hast du einen Tipp für mich wie ich auf die richtige Lösung kommen kann? Danke

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Integritätsbereich Polynomring: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Sa 25.11.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Integritätsbereich Polynomring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:03 So 19.11.2017
Autor: UniversellesObjekt

Zum zweiten Teil: Ist dir bekannt, dass die Summe einer Einheit und eines nilpotenten Elements wieder eine Einheit ist? Damit bekommst du schon einmal eine ganze Menge nicht-konstante Einheiten in [mm] $\IZ/12[X]$. [/mm] Du müsstest dir noch überlegen, dass das alle sind.

Liebe Grüße
UniversellesObjekt

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