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Integrieren Substitution: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:06 Do 17.01.2013
Autor: Peitho

Aufgabe
[mm] \integral_{0}^{\pi /2} [/mm] cos²(x)sin(x), dx

Berechnen Sie folgende Integrale mittels partieller Integration oder durch Substitution.

Ich nehme erst mal an, dass cos²(x) =cos(x)² ist und es ein Druckfehler auf dem Aufgabenblatt ist.

Mein Lösungsweg:
U = cos(x)²
U'=-2sin(x)cos(x)

[mm] \bruch{dy}{dy} [/mm] = -2sin(x)cos(x)
=> dx = [mm] \bruch{1}{-2sin(x)cos(x)} [/mm]

[mm] \integral_{0}^{\pi /2} \bruch{U * sin(x)}{-2sin(x)cos(x)} [/mm]  , dx

sin(x) kürzt sich weg =>

[mm] \bruch{U }{-2cos(x)} [/mm]

Dann wird für das U wieder cos(x)² eingesetzt und gekürzt

=>

[mm] \integral_{0}^{\pi /2} \bruch{cos(x) }{-2} [/mm] ,dx

= 1/2


da cos [mm] (\pi [/mm] /2) = 0 und cos (0) = 1 steht am Ende - [mm] \bruch{1}{-2} [/mm] => 1/2

Kann man das so lösen?

Vielen Dank fürs lesen!

PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Liebe Grüße,

Peitho



        
Bezug
Integrieren Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:16 Do 17.01.2013
Autor: schachuzipus

Hallo Peitho,

> [mm]\integral_{0}^{\pi /2}[/mm] cos²(x)sin(x), dx
>
> Berechnen Sie folgende Integrale mittels partieller
> Integration oder durch Substitution.
> Ich nehme erst mal an, dass cos²(x) =cos(x)² ist und es
> ein Druckfehler auf dem Aufgabenblatt ist.

Ja, das ist gemeint und eine ganz übliche Schreibweise ...

Also kein Druckfehler!

>
> Mein Lösungsweg:
> U = cos(x)²
> U'=-2sin(x)cos(x) [ok]
>
> [mm]\bruch{dy}{dy}[/mm]

Du meinst [mm]\frac{dU}{dx}[/mm]

> = -2sin(x)cos(x)
> => dx = [mm]\bruch{1}{-2sin(x)cos(x)}[/mm] dU

Stimmt!

>
> [mm]\integral_{0}^{\pi /2} \bruch{U * sin(x)}{-2sin(x)cos(x)}[/mm] , dx

Entweder substituiere die Grenzen mit oder rechne alles ohne Grenzen und resubstituiere am Ende, damit due die urspr. Grenzen benutzen kannst.

Und das Differential muss doch [mm]dU[/mm] sein.


>
> sin(x) kürzt sich weg =>
>
> [mm]\bruch{U }{-2cos(x)}[/mm]
>
> Dann wird für das U wieder cos(x)² eingesetzt und
> gekürzt

Nein, mit [mm]U=\cos^2(x)[/mm] ist doch [mm]\cos(x)=...[/mm]

Ersetze das entsprechend im Integral, dann ist es lediglich in der Variable U, dann ausintegrieren, resubstituieren (also U wieder durch einen Ausdruck in x ersetzen) und dann die "alten" Grenzen einsetzen ...

>
> =>
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi /2} \bruch{cos(x) }{-2}[/mm] ,dx
>
> = 1/2
>
>
> da cos [mm](\pi[/mm] /2) = 0 und cos (0) = 1 steht am Ende -
> [mm]\bruch{1}{-2}[/mm] => 1/2
>
> Kann man das so lösen?

Nein!

>
> Vielen Dank fürs lesen!
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Liebe Grüße,
>
> Peitho
>
>

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Integrieren Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:35 Do 17.01.2013
Autor: Peitho

Hallo schahuzipus!

danke erstmal für die schnelle Antwort!

> Hallo Peitho,
>  
> > [mm]\integral_{0}^{\pi /2}[/mm] cos²(x)sin(x), dx
>  >

> > Berechnen Sie folgende Integrale mittels partieller
> > Integration oder durch Substitution.
>  > Ich nehme erst mal an, dass cos²(x) =cos(x)² ist und

> es
> > ein Druckfehler auf dem Aufgabenblatt ist.
>
> Ja, das ist gemeint und eine ganz übliche Schreibweise
> ...
>  
> Also kein Druckfehler!
>  
> >
> > Mein Lösungsweg:
> > U = cos(x)²
> > U'=-2sin(x)cos(x) [ok]
>  >

> > [mm]\bruch{dy}{dy}[/mm]
>
> Du meinst [mm]\frac{dU}{dx}[/mm]
>  
> > = -2sin(x)cos(x)
> > => dx = [mm]\bruch{1}{-2sin(x)cos(x)}[/mm] dU
>
> Stimmt!
>  
> >
> > [mm]\integral_{0}^{\pi /2} \bruch{U * sin(x)}{-2sin(x)cos(x)}[/mm] ,
> dx
>  
> Entweder substituiere die Grenzen mit oder rechne alles
> ohne Grenzen und resubstituiere am Ende, damit due die
> urspr. Grenzen benutzen kannst.
>  

Darf ich die Grenzen einfach so angeben:

[mm] \integral_{U(0)}^{U(\pi /2)} [/mm]

> Und das Differential muss doch [mm]dU[/mm] sein.

Ja, ich muss mir schnell angewöhnen mich gleich genau auszudrücken. So wie ich es schreibe ist es falsch, ich hab es einfach übersehen.

>  
>
> >
> > sin(x) kürzt sich weg =>
>  >

> > [mm]\bruch{U }{-2cos(x)}[/mm]
>  >

> > Dann wird für das U wieder cos(x)² eingesetzt und
> > gekürzt
>
> Nein, mit [mm]U=\cos^2(x)[/mm] ist doch [mm]\cos(x)=...[/mm]
>  
> Ersetze das entsprechend im Integral, dann ist es lediglich
> in der Variable U, dann ausintegrieren, resubstituieren
> (also U wieder durch einen Ausdruck in x ersetzen) und dann
> die "alten" Grenzen einsetzen ...

Du meinst also :
[mm] \bruch{U }{-2cos(x)} [/mm] = [mm] \bruch{U }{-2 \wurzel{U}} [/mm]

>  
> >
> > =>
> >
> > [mm]\integral_{U(0)}^{U(\pi /2)} \bruch{cos(x) }{-2 \wurzel{3} }[/mm] ,dU

Ich verstehe leider nicht warum ich nicht einfach cos(x)² für U einsetzen kann.

>  >

> > = 1/2
>  >

> >
> > da cos [mm](\pi[/mm] /2) = 0 und cos (0) = 1 steht am Ende -
> > [mm]\bruch{1}{-2}[/mm] => 1/2
>  >

> > Kann man das so lösen?
>
> Nein!
>  
> >
> > Vielen Dank fürs lesen!
>  >

> > PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>  >

> > Liebe Grüße,
>  >

> > Peitho
>  >

> >
>
> Gruß
>  
> schachuzipus
>  

Grüße,

Peitho!

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Integrieren Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Do 17.01.2013
Autor: Steffi21

Hallo, zu lösen ist

[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^2(x)*sin(x) dx} [/mm]

deine Substitution war [mm] u:=cos^2(x) [/mm]

[mm] \bruch{du}{dx}=-2*cos(x)*sin(x) [/mm]

[mm] dx=-\bruch{du}{2*cos(x)*sin(x)} [/mm]

Lösungsweg (1):

wenn du für die obere Grenze [mm] cos^2(\bruch{\pi}{2})=0 [/mm]

und für die untere Grenze [mm] cos^2(0)=1 [/mm]

einsetzt, sparst du dir die Rücksubstitution

[mm] \integral_{1}^{0}{u*sin(x)*(-1)*\bruch{du}{2*cos(x)*sin(x)}} [/mm]

[mm] =-\bruch{1}{2}\integral_{1}^{0}{u*\bruch{1}{\wurzel{u}}du} [/mm]

[mm] =-\bruch{1}{2}\integral_{1}^{0}{\wurzel{u}du} [/mm]

Lösungsweg (2):

wenn du mit den "alten Grenzen" rechnen möchtest, so mache Rücksubstitution

[mm] =-\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\wurzel{u}du} [/mm]

[mm] =-\bruch{1}{2}*\bruch{2}{3}*u^{1.5} [/mm]

[mm] =-\bruch{1}{2}*\bruch{2}{3}*[cos^2(x)]^{1.5} [/mm]

[mm] =-\bruch{1}{3}*cos^3(x) [/mm] in den Grenzen 1 und 0

Steffi





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Integrieren Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:24 Sa 19.01.2013
Autor: Peitho

Hallo Steffi21,

Danke für deine ausführliche Lösung, jetzt konnte ich auch nachvollziehen was ich falsch gemacht hatte.

Ich hab die Aufgabe auch mit U = cos gerechnet, hat sich als einfacher erwiesen. Aber ich sehe, es gibt viele Wege um zum Ergebnis zu kommen.


Grüße,

Peitho.

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Integrieren Substitution: andere Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:29 Do 17.01.2013
Autor: Roadrunner

Hallo Peitho!


Schneller (und m.E. auch leichter) geht es mit der Substitution: $u \ := [mm] \cos(x)$ [/mm] .


Gruß vom
Roadrunner

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Integrieren Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:24 Do 17.01.2013
Autor: Peitho

Hallo Roadrunner,

du hast vollkommen Recht, so geht es viel einfacher. Und ich komme auf ein Ergebnis = 1.

dU = 1 / -sin(x)

Dann hab ich:


[mm] \bruch{ U² sin(x)}{-sin(x)} [/mm]

=> -U²

Und dann darf ich cos(x) und die alten Grenzen einsetzen also [mm] \pi [/mm] / 2 und 0 und komme auf 1.

Oder muss ich dann mit U Rechnen und einfach die Grenzen ausrechnen U( [mm] \pi [/mm] / 2) und U (0) ?

Liebe Grüße,

Peitho

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Bezug
Integrieren Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 Do 17.01.2013
Autor: MathePower

Hallo peitho,

> Hallo Roadrunner,
>  
> du hast vollkommen Recht, so geht es viel einfacher. Und
> ich komme auf ein Ergebnis = 1.
>
> dU = 1 / -sin(x)
>  
> Dann hab ich:
>  
>
> [mm]\bruch{ U² sin(x)}{-sin(x)}[/mm]
>
> => -U²
>  
> Und dann darf ich cos(x) und die alten Grenzen einsetzen
> also [mm]\pi[/mm] / 2 und 0 und komme auf 1.
>  


Poste dazu Deine Rechenschritte.


> Oder muss ich dann mit U Rechnen und einfach die Grenzen
> ausrechnen U( [mm]\pi[/mm] / 2) und U (0) ?

>


Das ist vollkommen egal wie Du das bestimmte Integral auswertest.

  

> Liebe Grüße,
>  
> Peitho


Gruss
MathePower

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Bezug
Integrieren Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:17 Sa 19.01.2013
Autor: Peitho

Hallo MathePower,

erstmal entschuldige die verspätete Antwort.

> Hallo peitho,
>  
> > Hallo Roadrunner,
>  >  
> > du hast vollkommen Recht, so geht es viel einfacher. Und
> > ich komme auf ein Ergebnis = 1.
> >
> > dU = 1 / -sin(x)
>  >  
> > Dann hab ich:
>  >  
> >
> > [mm]\bruch{ U² sin(x)}{-sin(x)}[/mm]
> >
> > => -U²
>  >  
> > Und dann darf ich cos(x) und die alten Grenzen einsetzen
> > also [mm]\pi[/mm] / 2 und 0 und komme auf 1.
>  >  
>
>
> Poste dazu Deine Rechenschritte.

[mm] \bruch{U^2*sin(x)}{-1*sin(x)} [/mm] = [mm] -U^2 [/mm] => Die -1 vor das Integral ziehen:
[mm] -1 \integral_{U(0)}^{U(\pi/2} U^2 [/mm] => aufleiten: [mm] \bruch{1}{3}U^3 [/mm] => Grenzen ausrechnen

U(0) = 1
[mm] U(\pi/2) [/mm] = 0

Einsetzen und wir erhalten: -1 * [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm]

Also nicht ganz 1 ^^

>  
>
> > Oder muss ich dann mit U Rechnen und einfach die Grenzen
> > ausrechnen U( [mm]\pi[/mm] / 2) und U (0) ?
>  >
>  
>
> Das ist vollkommen egal wie Du das bestimmte Integral
> auswertest.
>  
>
> > Liebe Grüße,
>  >  
> > Peitho
>
>
> Gruss
>  MathePower


Liebe Grüße, und vielen Dank allen fürs Helfen,


Peitho

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