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Integrieren: Wert gesucht
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:56 Di 08.06.2010
Autor: marco-san

Aufgabe
Berechnen Sie den Wert des folgenden Integrals:

[mm] \integral_{0}^{\pi/4}{f(\bruch{1-cos^2(x)}{2*cos^2(x)}) dx} [/mm]

Ich habe bis jetzt folgendes gemacht :

[mm] \bruch{1}{2}*\integral_{0}^{\pi/4}{f(\bruch{1-cos^2(x)}{cos^2(x)}) dx} [/mm]

da [mm] sin^2(x)+co^s'2(x)=1 [/mm] ist, wäre [mm] sin^2(x)= 1-cos^2(x) [/mm]

[mm] \bruch{1}{2}*\integral_{0}^{\pi/4}{f(\bruch{sin^2(x)}{cos^2(x)}) dx} [/mm]

[mm] \bruch{1}{2} *\integral_{0}^{\pi/4}{f(tan^2(x)) dx} [/mm]


wie kann ich nun [mm] tan^2(x) [/mm] integrieren?

Ich komm echt nicht weiter.

Danke für eure Hilfe.

Gruss

        
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Integrieren: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:02 Di 08.06.2010
Autor: Loddar

Hallo Marco!


Bedenke, dass gilt:
[mm] $$\left[ \ \tan(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \tan^2(x)+1$$ [/mm]

Gruß
Loddar


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Integrieren: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 20:24 Di 08.06.2010
Autor: marco-san

Hallo Loddar,

ich habe diesen Ansatz auch schon in Erwägung gezogen. Ich komme aber einfach nicht weiter. Wahrscheinlich sitze ich einfach schon zu lange an dieser Aufgabe...
Wäre dankbar um noch ein paar Tipps.

Danke Loddar



Bezug
                        
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Integrieren: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:26 Di 08.06.2010
Autor: Loddar

Hallo Marco!


[mm] $$\integral{\tan^2(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\tan^2(x)+1-1 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\tan^2(x)+1 \ dx}-\integral{1 \ dx} [/mm] \ = \ ...$$

Gruß
Loddar


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Integrieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:35 Di 08.06.2010
Autor: marco-san

Sali loddar,

ich kanns mir nicht erklären was es gibt. Wir sind im Papula beim integrieren erst bei Abschnitt 7 fertig.

Das muss doch einfacher gehen die Aufgabe zu lösen?
Evtl. habe ich von Anfang an falsch angefangen?

Ich habe keine Ahnung was die Lösung deiner Aufgabe ist.

Auch im Buch finde ich rein nichts. Ich kann es auch nicht nachvollziehen...


Gruss

Bezug
                                        
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Integrieren: Noch ein Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:41 Di 08.06.2010
Autor: MathePower

Hallo marco-san,

> Sali loddar,
>  
> ich kanns mir nicht erklären was es gibt. Wir sind im
> Papula beim integrieren erst bei Abschnitt 7 fertig.
>  
> Das muss doch einfacher gehen die Aufgabe zu lösen?
>  Evtl. habe ich von Anfang an falsch angefangen?
>  
> Ich habe keine Ahnung was die Lösung deiner Aufgabe ist.
>  
> Auch im Buch finde ich rein nichts. Ich kann es auch nicht
> nachvollziehen...
>  


Zerlege

[mm]\tan^{2}\left(x\right)=\sin\left(x\right)*\bruch{\sin\left(x\right)}{\cos^{2}\left(x\right)}[/mm]

Dann kannst Du partiell integrieren.


>
> Gruss


Gruss
MathePower

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Integrieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:44 Di 08.06.2010
Autor: marco-san

Sali Mathepower,

jetzt verstehe ich noch weniger.

Wir haben das so in der Schule noch nie gemacht. Es muss einen einfacheren Weg über die Trigo geben...

Gruss


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Integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:52 Di 08.06.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,

Toll, dass du ganze 3 Minuten über den Tipp nachgedacht hast ...

Mann, ist das eine super Arbeitseinstellung. Das bringt es echt.

Du hast 2 Möglichkeiten vorgekaut bekommen.

Und keine davon probiert ...

Super Einsatz!

Und partielle Integration ist nicht behandelt worden????

Kaum zu glauben.

Es ist [mm] $\int{f'(x)g(x) \ dx}=f(x)g(x)-\int{f(x)g'(x) \ dx}$ [/mm]

Hier mit [mm] $f'(x)=\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}$ [/mm] und [mm] $g(x)=\sin(x)$ [/mm]

Also mach mal und probier mal was und überleg vor allem länger als 1 Minute ...

Echt !!

Arm ist das !

Gruß

schachuzipus

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Integrieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:57 Di 08.06.2010
Autor: marco-san

Wir hatten bis anhin noch keine partielle integration! Wir sind im Papula Ende Abschnitt 7 im Thema integration.

Wenn Du keine Ahnung hast wie dies ohne partielle integration lösbar ist, dann verstehe ich auch deinen Frust.

Zu deiner Info: Ich sass schon den halben Nachmittag dran, machte dann ne Pause und versuchte es anschliessend aber ohne Erfolg! Ich möchte auch lieber den Lösungsweg aus dem Ärmel schütteln.

Zudem ist das keine Konflikt-Plattform. Ich habe alles vorgerechnet was ich weiss. Wenn Du nicht helfen kannst verstehe ich das.



Bezug
                                                                        
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Integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 Di 08.06.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

immerhin 5 Minuten

> Wir hatten bis anhin noch keine partielle integration! Wir
> sind im Papula Ende Abschnitt 7 im Thema integration.
>  
> Wenn Du keine Ahnung hast wie dies ohne partielle
> integration lösbar ist, dann verstehe ich auch deinen
> Frust.
>  
> Zu deiner Info: Ich sass schon den halben Nachmittag dran,
> machte dann ne Pause und versuchte es anschliessend aber
> ohne Erfolg! Ich möchte auch lieber den Lösungsweg aus
> dem Ärmel schütteln.
>  
> Zudem ist das keine Konflikt-Plattform. Ich habe alles
> vorgerechnet was ich weiss. Wenn Du nicht helfen kannst
> verstehe ich das.

Wie es ohne partielle Integration geht, hat Loddar dir im Detail aufgeschrieben ...

Ich zitiere: (ohne den Vorfaktor [mm] $\frac{1}{2}$) [/mm]

[mm] $\int{\tan^2(x) \ dx}=\int{(\tan^2(x)+1) \ dx} [/mm] \ - \ [mm] \int{1 \ dx}$ [/mm]


Außerdem gab er den Hinweis, dass [mm] $\tan^2(x)+1=\tan'(x)$ [/mm] ist

Was ist wohl [mm] $\int{g'(x) \ dx}$ [/mm] ??

Du musst echt die Hinweise, die du bekommst, wirken lassen und ein bisschen mehr probieren. Ohne Probieren ist Mathe sinnlos ...

Gruß

schachuzipus

>  


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Integrieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:15 Di 08.06.2010
Autor: marco-san

Hallo,

danke für die Hilfe.

Also ich komme auf tan(x)+x.

Warum aber gibt [mm] \tan^2(x)+1=\tan'(x)? [/mm]

Woher nehmt ihr diese Ableitung?

Gruss

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Integrieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Di 08.06.2010
Autor: Steffi21

Hallo, kleiner Vorzeichenfehler tan(x)-x, nach hinreichend langer Übung sind dir gewisse Ableitungen bekannt, so auch z.B. die Ableitung von f(x)=tan(x) mit [mm] f'(x)=tan^{2}(x)+1, [/mm] benutze für dich zum Üben die Definition vom Tangens und die Quotientenregel, leite f(x) ab, Steffi

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