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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Di 30.11.2010 | | Autor: | Torste |
| Aufgabe | Beantworte folgende Fragen:
1.) Ist f f.ü. definiert auf X?
2.) Ist f messbar?
3.) Ist f integrierbar
a.) [mm] f(x)=x^-1*e^x [/mm] auf [mm] X=[0,\infty]
[/mm]
b.) f(x)=sinx/x auf [mm] X=[1,\infty)
[/mm]
c.) [mm] f(x)=1/\wurzel{1+x^2} [/mm] auf [mm] X=\IR
[/mm]
d.) f(x)=1/(1+e^-x) auf [mm] X=\IR [/mm] |
Hallo,
ich sitze an obiger auch mit insgesamt 16 solchen Aufgaben und weiß einfach nicht, wie ich bei jedem einen individuellen weg finden soll die Fragen zu beantworten, meine Antwort zu 1 und 2 sind noch ok - bei 3 weiß ich aber bei fast keinem weiter - deswegen die Frage ob mir jmd. dabei helfen könnte!?
Hier meine Ideen zu den ausgewählten oben:
a.)
1.) Da die Funktion für null nicht definiert ist - NEIN!
2.) Ja, messbar, da sowohl 1/x, als auch [mm] 1/e^x [/mm] messbar und dann als Komposition auch wieder messbar!
3.) (hier habe ich versucht eine Minorante zu finden, aber bisher ergebnislos - geht das überhaupt? - ich muss ja eigenlich ,,nur" zeigen, dass das Integral endlich ist...)
b.)
1.)Ja in desem X für alles definiert
2.) Ja, da stetig.
3.) ( Gleiches Problem wie eben - ich hatte eine Majorante gesucht, aber...)
c.)
1.) Ja - kein Problem zum einsetzen.
2.) Das weiß ich nicht genau, kommt drauf an, wenn die Wurzelfunktion messbar ist dann ja.
3.) Diese Funktion wäre ja auf jeden Fall kleiner gleich der Konstanten Funktion g(x)=1 und diese ist ja integrierbar - wäre damit danach sicher f(x) integrierbar - so würde ich zumindest nun argumentieren!
zu d.) hatte ich bisher noch nicht so gute Idee, deswegen lasse ich den jetzt doch nochmal weg!
Wenn jmd. was dazu sagen könnte wäre es wirklich toll!
Gruß Torste
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Di 30.11.2010 | | Autor: | Torste |
Ich hatte bei der b.) gerade noch eine Idee und zwar ein Abschätzung- ich weiß zwar noch nicht wie, aber die Erkenntnis war es, dass man ja nur alle x betrachten muss, für die gilt:
[mm] \pi/2 [/mm] -1/2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi/2 [/mm] +1/2
Ist das richtig so und was sagt ihr zu meinen ganzen vorherigen Überlegungen?
Es wäre wirklich toll, wenn sich das mal jmd. anschauen würde!
Gruß Torste
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Huhu,
den wichtigen Tip hab ich dir ja bereits gegeben.
MFG,
Gono.
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Huhu,
> Hier meine Ideen zu den ausgewählten oben:
> a.)
> 1.) Da die Funktion für null nicht definiert ist - NEIN!
Die Frage lässt sich ohne weitere Angaben von dir nicht beantworten.
Welches Maß ist denn gegeben? Ich vermute mal das Lebesgue-Maß.
Wohin bildet die Funktion ab? Nach [mm] \IR [/mm] oder [mm] \overline{\IR} [/mm] ?
Und: Du solltest dir vielleicht die Definition von "f.ü." = "fast überall" nochmal anschauen.
Dann begründe mir dein "NEIN" doch mal.
Ich behaupte "JA!". Wer hat nun recht?
> 2.) Ja, messbar, da sowohl 1/x, als auch [mm]1/e^x[/mm] messbar und
> dann als Komposition auch wieder messbar!
Jo, wobei du hier doch eher [mm] e^x [/mm] schreiben solltest.
> 3.) (hier habe ich versucht eine Minorante zu finden, aber
> bisher ergebnislos - geht das überhaupt? - ich muss ja
> eigenlich ,,nur" zeigen, dass das Integral endlich ist...)
Stimmt. Zeige: f [mm] \ge [/mm] 1 auf dem angegebenen Definitionsbereich.
> b.)
> 1.)Ja in desem X für alles definiert
> 2.) Ja, da stetig.
> 3.) ( Gleiches Problem wie eben - ich hatte eine Majorante
> gesucht, aber...)
Es gilt doch [mm] |\sin(x)| \le [/mm] 1 !
> c.)
> 1.) Ja - kein Problem zum einsetzen.
> 2.) Das weiß ich nicht genau, kommt drauf an, wenn die
> Wurzelfunktion messbar ist dann ja.
Die Wurzelfunktion ist stetig.
> 3.) Diese Funktion wäre ja auf jeden Fall kleiner gleich
> der Konstanten Funktion g(x)=1 und diese ist ja
> integrierbar - wäre damit danach sicher f(x) integrierbar
> - so würde ich zumindest nun argumentieren!
Ach die konstante Funktion ist integrierbar? Also bezüglich des Lebesgue-Maßes nicht unbedingt.
Wie habt ihr Integrierbarkeit denn definiert? Nach der gängigen Definition muss dazu gelten
[mm] $\integral_\Omega f\, d\lambda [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] und das ist bei der konstanten Funktion leider nicht gegeben.
Aber es gilt doch offensichtlich: [mm] $f\le \bruch{1}{x}$
[/mm]
> zu d.) hatte ich bisher noch nicht so gute Idee, deswegen
> lasse ich den jetzt doch nochmal weg!
> Wenn jmd. was dazu sagen könnte wäre es wirklich toll!
> Gruß Torste
Machen wir später.
MFG,
Gono.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:46 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Torste |
Hallo Gonozal,
danke für deine Hilfe!
> Die Frage lässt sich ohne weitere Angaben von dir nicht
> beantworten.
> Welches Maß ist denn gegeben? Ich vermute mal das
> Lebesgue-Maß.
> Wohin bildet die Funktion ab? Nach [mm]\IR[/mm] oder [mm]\overline{\IR}[/mm]
> ?
> Und: Du solltest dir vielleicht die Definition von "f.ü."
> = "fast überall" nochmal anschauen.
> Dann begründe mir dein "NEIN" doch mal.
> Ich behaupte "JA!". Wer hat nun recht?
Also : 1.) Lebesgue-Maß, 2:) ganz ,,normal nach IR", 3.) Oh ja - ich hatte die Definition von f.ü. echt noch falsch verstanden: es ist f.ü. definiert, weil nur x=0 ein Problem ist, die Menge mit diesem einen Punkt aber eine Nullmenge ist !
> Stimmt. Zeige: f [mm]\ge[/mm] 1 auf dem angegebenen
> Definitionsbereich.
Damit komme ich leider immernoch nicht, auch nach langem überlegen, klar:(
mein Problem ist folgendes:
[mm] f(x)=1/x*1/e^x [/mm] auf [mm] [0,\infty), [/mm] dann gilt für [mm] e^x\ge1 [/mm] und somit [mm] /e^x\le1
[/mm]
und 1/x geht für x gegen unendlich gegen Null und für x gegen NUll gegen unendlich - jetzt müsste ich das ja irgendwie in Relation betrachten, aber selbst wenn ich jetzt schaueum es nach unten mit der Eins abzuschätzten, habe ich doch das problem, dass 1/x gegen NUll geht - also kleiner Eins!?
Ich bin da vermutlich irgendwei noch völlig auf dem falschen Dampfer!
> > b.)
> > 1.)Ja in desem X für alles definiert
> > 2.) Ja, da stetig.
> > 3.) ( Gleiches Problem wie eben - ich hatte eine
> Majorante
> > gesucht, aber...)
>
Die habe cih einfach mal berechnet - also deren uneigentliches Integral und dann hatte ich zuletzt noch ein integral mit cos, dass ich auf jeden fall kleiner unendlich setzten konnte dun damit war dann alles kleiner unendlich - also wäre das integrierbar und damit gelöst!
> > c.)
> > 1.) Ja - kein Problem zum einsetzen.
> > 2.) Das weiß ich nicht genau, kommt drauf an, wenn die
> > Wurzelfunktion messbar ist dann ja.
>
> Die Wurzelfunktion ist stetig.
>
> > 3.) Diese Funktion wäre ja auf jeden Fall kleiner gleich
> > der Konstanten Funktion g(x)=1 und diese ist ja
> > integrierbar - wäre damit danach sicher f(x) integrierbar
> > - so würde ich zumindest nun argumentieren!
>
> Ach die konstante Funktion ist integrierbar? Also
> bezüglich des Lebesgue-Maßes nicht unbedingt.
> Wie habt ihr Integrierbarkeit denn definiert? Nach der
> gängigen Definition muss dazu gelten
>
> [mm]\integral_\Omega f\, d\lambda < \infty[/mm] und das ist bei der
> konstanten Funktion leider nicht gegeben.
>
> Aber es gilt doch offensichtlich: [mm]f\le \bruch{1}{x}[/mm]
Ja ok - stimmt, dann sind konstante auf diesen Intervallen und mit Lebesgue-Maß eben nicht integrierbar...dann habe ich mich wohl geirrt...
Aber deinen Abschätzung finde ich trotzdem nicht so trivial...vor allem ist 1/x doch garnicht integrierbar - wieso wollen wir es dann als Majorante?
das mach für mich noch keine Sinn!?
> > zu d.) hatte ich bisher noch nicht so gute Idee, deswegen
> > lasse ich den jetzt doch nochmal weg!
> Machen wir später.
Ich habe mir jetzt Gedanken gemacht:
1.) Ist auf f.ü. definiert - denn auf ganz R ist kein Problem zu erkennen.
2.) Ist messsbar, da alle ,,Einzelteile" stetig!
3.) Ist nicht integrierbar
Aber auch hier bin ich wieder zu blöde um es nach unten abzuschätzen - ich weiß nur das es größer Null ist, aber das wäre ja integrierbar, also keine brauchbare Minorante!
> MFG,
> Gono.
>
Ich hoffe man kann verstehen was ich meine...
Gruß Torste
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Sa 04.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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