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Integrierbarkeit: Indikatorfkt. mu-integrierbar?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:00 Mo 18.06.2012
Autor: tkgraceful

Aufgabe
[mm] f(x)=1_{\mathbb{Q}}\in \mathcal L^1(\mu) [/mm] und f messbar.

Ja, so steht's im Skript. Erstmal würde ich korrigieren: [mm] f(x)=1_{\mathbb{Q}} [/mm] in [mm] f=1_{\mathbb{Q}} [/mm]

so,

die Messbarkeit ist klar. Aber bei der [mm] \mu [/mm] Integrierbarkeit von [mm] \vert f\vert [/mm] stehe ich gerade auf dem Schlauch.

[mm] \mathbb{Q} [/mm] ist ja nicht endlich. Dass bedeutet für mich, dass es unendlich viele [mm] x\in\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} [/mm] gibt, mit [mm] 1_{\mathbb{Q}}(x)=1. [/mm]

D.h., das integral ist (Länge mal Breite) [mm] 1\cdot \infty [/mm] = [mm] \infty [/mm]

Deshalb ist ja [mm] \int \vert f\vert^+\mu [/mm] = [mm] \int (1_{\mathbb{Q}})^+\mu [/mm] = [mm] \int 1_{\mathbb{Q}}^+\mu=\infty [/mm] also nicht [mm] \mu [/mm] integrierbar.

Oder was ist mein Problem? Grüße,

tk

        
Bezug
Integrierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:07 Mo 18.06.2012
Autor: fred97


> [mm]f(x)=1_{\mathbb{Q}}\in \mathcal L^1(\mu)[/mm] und f messbar.
>  Ja, so steht's im Skript. Erstmal würde ich korrigieren:
> [mm]f(x)=1_{\mathbb{Q}}[/mm] in [mm]f=1_{\mathbb{Q}}[/mm]
>  
> so,
>  
> die Messbarkeit ist klar. Aber bei der [mm]\mu[/mm] Integrierbarkeit
> von [mm]\vert f\vert[/mm] stehe ich gerade auf dem Schlauch.
>  
> [mm]\mathbb{Q}[/mm] ist ja nicht endlich. Dass bedeutet für mich,
> dass es unendlich viele [mm]x\in\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}[/mm]
> gibt, mit [mm]1_{\mathbb{Q}}(x)=1.[/mm]
>  
> D.h., das integral ist (Länge mal Breite) [mm]1\cdot \infty[/mm] =
> [mm]\infty[/mm]

Nein. Für eine messbare Menge A  ist [mm] \int 1_{A}\mu= \mu(A) [/mm]


FRED

>  
> Deshalb ist ja [mm]\int \vert f\vert^+\mu[/mm] = [mm]\int (1_{\mathbb{Q}})^+\mu[/mm]
> = [mm]\int 1_{\mathbb{Q}}^+\mu=\infty[/mm] also nicht [mm]\mu[/mm]
> integrierbar.
>  
> Oder was ist mein Problem? Grüße,
>  
> tk


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Integrierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:44 Mo 18.06.2012
Autor: tkgraceful

Okay, vielen Dank für diese ausführliche Erklärung. Aber es ist doch trotzdem [mm] \mu(\mathbb{Q}) [/mm] = [mm] \infty [/mm] oder nicht?

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Integrierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:51 Mo 18.06.2012
Autor: schachuzipus

Hallo tkgraceful,


> Okay, vielen Dank für diese ausführliche Erklärung. Aber
> es ist doch trotzdem [mm]\mu(\mathbb{Q})[/mm] = [mm]\infty[/mm] oder nicht?

Naja, wenn [mm] $\mu$ [/mm] das Lebesguemaß ist, so ist [mm] $\IQ$ [/mm] eine Nullmenge, also [mm] $\mu(\IQ)=0$ [/mm] ...

Gruß

schachuzipus


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Integrierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 Mo 18.06.2012
Autor: tkgraceful

Ja wie auch immer. Der Punkt ist der. Treppenfunktionen sind immer integrierbar. Gut, für einen Maßraum [mm] (X,\mathcal A,\mu) [/mm] ist dann doch

[mm] s:=1_X [/mm] eine Treppenfunktion, oder nicht?

X kann ja durchaus eine unendliche Menge sein mit [mm] \mu(X)=\infty. [/mm] Das kann ja alles sein. Nur dann ist doch [mm] \int s\mu [/mm] nicht endlich und also nicht [mm] \mu [/mm] integrier bar. Wo mache ich den Denkfehler?

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Integrierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:09 Mo 18.06.2012
Autor: fred97

Vielleicht verrätst Du mal, was in [mm] \mathcal L^1(\mu) [/mm] für ein Mass [mm] \mu [/mm] zugrundeliegt.

FRED

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Integrierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Mo 18.06.2012
Autor: tkgraceful

Na eben ein Maß, das so gewählt ist, dass [mm] \mu(X)=\infty [/mm] ist. Wobei X eine unendliche Menge ist.

Es heißt ja (soweit mein Skript), dass Treppenfunktionen immer [mm] \mu [/mm] -integrierbar sind und zum anderen heißt eine Funktion f [mm] \mu [/mm] -integrierbar, falls [mm] \int f^+\mu [/mm] und [mm] \int f^-\mu [/mm] endlich sind.

z.B.

$s = [mm] \sum_{y\in s(X)}y\cdot [/mm] 1(s=y)$ mit dem Integral

$ [mm] \int s\mu [/mm] = [mm] \sum_{y\in s(X)}y\cdot \mu(s=y) [/mm] $

Wenn es unendlich viele Elemente in s(X) gibt, kann die Summer auch unendlich sein.

Dann ist aber [mm] \int s^+\mu [/mm] oder [mm] \int s^-\mu [/mm] nicht endlich. Also nicht integrierbar trotz Treppenfunktion. Was mache ich falsch?

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Integrierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Mo 18.06.2012
Autor: fred97


> Na eben ein Maß, das so gewählt ist, dass [mm]\mu(X)=\infty[/mm]
> ist. Wobei X eine unendliche Menge ist.

Oben ist doch von [mm] \IQ [/mm] die Rede, daher glaube ich, dass X= [mm] \IR [/mm] ist.

Kann es sein, dass Ihr in diesem Fall vereinbart habt, dass [mm] \mu [/mm] immer das Lebesguemaß sein soll, falls nichts anderes gesagt wird ?

Wenn ja, so ist [mm] \mu(\IQ)=0 [/mm] und damit ist auch das fragliche Integral = 0.

FRED

>  
> Es heißt ja (soweit mein Skript), dass Treppenfunktionen
> immer [mm]\mu[/mm] -integrierbar sind und zum anderen heißt eine
> Funktion f [mm]\mu[/mm] -integrierbar, falls [mm]\int f^+\mu[/mm] und [mm]\int f^-\mu[/mm]
> endlich sind.
>  
> z.B.
>  
> [mm]s = \sum_{y\in s(X)}y\cdot 1(s=y)[/mm] mit dem Integral
>  
> [mm]\int s\mu = \sum_{y\in s(X)}y\cdot \mu(s=y)[/mm]
>  
> Wenn es unendlich viele Elemente in s(X) gibt, kann die
> Summer auch unendlich sein.
>  
> Dann ist aber [mm]\int s^+\mu[/mm] oder [mm]\int s^-\mu[/mm] nicht endlich.
> Also nicht integrierbar trotz Treppenfunktion. Was mache
> ich falsch?


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Integrierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:54 Mo 18.06.2012
Autor: tkgraceful

Mein Gott. Das ist eine allgemeine Frage. Manche Studenten, ob man's glaubt oder nicht, denken doch tatsächlich noch selbst.


Und es geht nicht um [mm] \mathbb{R}, [/mm] oder [mm] \mathbb{Q}, [/mm] das sind nur Beispiele.
Auch nicht konkret ums Lebesgue Maß, sondern um eine allg. Schwierigkeit die ich mit dem Stoff habe.

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Integrierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 Mo 18.06.2012
Autor: fred97


> Mein Gott. Das ist eine allgemeine Frage. Manche Studenten,
> ob man's glaubt oder nicht, denken doch tatsächlich noch
> selbst.

So, nun werd mal nicht pampig, Du Rotzlöffel.

Ich rate Dir , dass Du Dir Deine ursprüngliche Frage nochmal anschaust, dann wirst Du feststellen, dass es ganz konkret um [mm] \IQ [/mm] und die char. Funktion von [mm] \IQ [/mm] geht.

FRED

>  
> Und es geht nicht um [mm]\mathbb{R},[/mm] oder [mm]\mathbb{Q},[/mm] das sind
> nur Beispiele.
>  Auch nicht konkret ums Lebesgue Maß, sondern um eine
> allg. Schwierigkeit die ich mit dem Stoff habe.


Bezug
                                                                                
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Integrierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Mo 18.06.2012
Autor: tkgraceful

Oje,

okay, [mm] 1_{\mathbb{Q}} [/mm] ist integrierbar, da mit dem Lebesgue-Maß gilt [mm] \int 1_{\mathbb{Q}}\mu=0, [/mm] da [mm] \mathbb{Q} [/mm] eine [mm] \mu [/mm] -Nullmenge ist. Okay.

Und jetzt öffnen wir mal unseren Geist, blenden [mm] \mathbb{Q}, \mathbb{R} [/mm] und das Lebesgue-Maß aus und sehen uns meinen letzt Beitrag an. Wo mache ich da den Denkfehler?

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Integrierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:36 Mo 18.06.2012
Autor: fred97


> Oje,
>  
> okay, [mm]1_{\mathbb{Q}}[/mm] ist integrierbar, da mit dem
> Lebesgue-Maß gilt [mm]\int 1_{\mathbb{Q}}\mu=0,[/mm] da [mm]\mathbb{Q}[/mm]
> eine [mm]\mu[/mm] -Nullmenge ist. Okay.
>  
> Und jetzt öffnen wir mal unseren Geist,

Jawoll, ohne Dich würde ich ja ewig blöd bleiben.

> blenden
> [mm]\mathbb{Q}, \mathbb{R}[/mm] und das Lebesgue-Maß aus und sehen
> uns meinen letzt Beitrag an. Wo mache ich da den
> Denkfehler?

Du machst keine Denkfehler. Wenn in Deinem Skript steht, dass Treppenfunktionen immer $ [mm] \mu [/mm] $ -integrierbar sind , so stimmt das nicht.

Beispiel: [mm] X=\IR [/mm] mit Lebesquemaß [mm] \mu. [/mm]

   [mm] f:=1_X [/mm] ist eine messbare Treppenfunktion mit Integral = [mm] \infty. [/mm]


Fürs nächste mal: nicht ganz so großkotzig auftreten und etwas mehr Respekt.

FRED


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Integrierbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:00 Mo 18.06.2012
Autor: tkgraceful

Alles klar. Dann danke ich dir. Sorry, bin wohl grad etwas mit den Nerven runter.

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