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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Sa 26.04.2008 | | Autor: | tobe |
| Aufgabe | Es sind die beiden folgenden Integrale mit vertauschter Integrationsreihenfolge darzustellen:
a) [mm] \integral_{0}^{1} \integral_{y}^{\wurzel{y}}{z(x,y) dx dy} [/mm] und b) [mm] \integral_{1}^{2} \integral_{x}^{2x}{z(x,y) dy dx} [/mm] |
Hi,
leider weiss ich nicht was mit vertauschen der Integrationsreihenfolg gemeint ist.
Bedeutet das ich soll für a) folgendes integral berechnen:
[mm] \integral_{y}^{\wurzel{y}} \integral_{0}^{1}{z(x,y) dy dx} [/mm] ? ändern sich hierbei nicht der Bereich in dem ich Integriere?
oder solle ich [mm] \integral_{0}^{1} \integral_{y}^{\wurzel{y}}{z(x,y) dy dx} [/mm] berechnen?
Bitte Tipps, Tricks, Anregungen und Theorie :D
Vielen Dank
Tobias
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Hallo tobe,
> Es sind die beiden folgenden Integrale mit vertauschter
> Integrationsreihenfolge darzustellen:
>
> a) [mm]\integral_{0}^{1} \integral_{y}^{\wurzel{y}}{z(x,y) dx dy}[/mm]
> und b) [mm]\integral_{1}^{2} \integral_{x}^{2x}{z(x,y) dy dx}[/mm]
>
> Hi,
> leider weiss ich nicht was mit vertauschen der
> Integrationsreihenfolg gemeint ist.
> Bedeutet das ich soll für a) folgendes integral berechnen:
>
> [mm]\integral_{y}^{\wurzel{y}} \integral_{0}^{1}{z(x,y) dy dx}[/mm]
> ? ändern sich hierbei nicht der Bereich in dem ich
> Integriere?
Genau das sollst Du machen, wobei sich natürlich die Grenzen ändern.
In der ursprünglichen gilt ja:
[mm]0 \le y \le 1[/mm] und [mm]y \le x \le \wurzel{y}[/mm]
Hier sind die Grenzen von y abhängig. Die Grenzen müssen so bestimmt werden, daß diese von x abhängig sind.
Die letzte Gleichung ist demnach so umzustellen: [mm]\varphi_{1}\left(x\right) \le y \le \varphi_{2}\left(x\right)[/mm]
Dann musst Du noch die Grenzen für x bestimmen.
Das machst Du in dem Du die Lösungsmenge der Ungleichung
[mm]\varphi_{1}\left(x\right) \le \varphi_{2}\left(x\right)[/mm]
bestimmst.
> oder solle ich [mm]\integral_{0}^{1} \integral_{y}^{\wurzel{y}}{z(x,y) dy dx}[/mm]
> berechnen?
>
> Bitte Tipps, Tricks, Anregungen und Theorie :D
>
> Vielen Dank
> Tobias
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 So 27.04.2008 | | Autor: | tobe |
Ich verstehe nicht genau die Vorgehensweise. Das mag wahrscheinlich daran liegen, dass ich immer ein gerechnetes Beispiel vor mir liegen haben muss um das nach vollziehen zu können.
ich führe jetzt praktisch ein beliebiges (?) [mm] \varphi_{1}\left(x\right) \le [/mm] y [mm] \le \varphi_{2}\left(x\right) [/mm] ein sodass diese gleichung stimmt?
Doch woher nehme ich jetzt diese? Und wie soll ich die Lösungsmenge dann bestimmen?
Hätte ich hier x [mm] \le [/mm] y [mm] \le \wurzel{x} [/mm] und 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 ?
Bitte Hilfe und evtl. die erste aufgabe vorrechnen sodass ich die zweite selber versuchen kann.
Danke
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Hallo tobe,
> Ich verstehe nicht genau die Vorgehensweise. Das mag
> wahrscheinlich daran liegen, dass ich immer ein gerechnetes
> Beispiel vor mir liegen haben muss um das nach vollziehen
> zu können.
>
> ich führe jetzt praktisch ein beliebiges (?)
> [mm]\varphi_{1}\left(x\right) \le[/mm] y [mm]\le \varphi_{2}\left(x\right)[/mm]
> ein sodass diese gleichung stimmt?
Nein
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> Doch woher nehme ich jetzt diese? Und wie soll ich die
> Lösungsmenge dann bestimmen?
>
> Hätte ich hier x [mm]\le[/mm] y [mm]\le \wurzel{x}[/mm] und 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 ?
>
> Bitte Hilfe und evtl. die erste aufgabe vorrechnen sodass
> ich die zweite selber versuchen kann.
So, von dem gegebenen Integral wissen wir:
[mm]\left(1\right) \ 0 \le x \le 1[/mm]
[mm]\left(2\right) \ y \le x \le \wurzel{y}[/mm]
Aus Gleichung (2) folgt zweierlei:
[mm]y \le x[/mm] und [mm] x \le \wurzel{y}[/mm]
Dies umgestellt nach y ergibt:
[mm]x \ge y[/mm] und [mm] x^{2} \le y[/mm]
Insgesamt also [mm]x^{2} \le y \le x[/mm]
Nun bestimmen wir Lösung der Gleichung
[mm]\varphi_{1}\left(x\right) = x^{2} \le x = \varphi_{2}\left(x\right)[/mm]
[mm] \gdw x-x^{2} \ge 0 \gdw x*\left(1-x\right) \ge 0[/mm]
Ein Produkt aus 2 Faktoren ist größer gleich 0, wenn beide Faktoren dasselbe Vorzeichen haben.
Demnach gibt es 2 Fälle:
i) [mm]x \ge 0[/mm] und [mm]1-x \ge 0[/mm]
[mm]\Rightarrow x \ge 0 \wedge x \le 1[/mm]
[mm]\Rightarrow 0 \le x \le 1[/mm]
ii) [mm]x \le 0[/mm] und [mm]1-x \le 0[/mm]
[mm]\Rightarrow x \le 0 \wedge x \ge 1[/mm]
Hier gibt es nur [mm]x=0[/mm] als Lösung.
Daher gilt für x: [mm]0 \le x \le 1[/mm]
Daraus ergibt sich dann das umgeschriebene Integral:
[mm] \integral_{0}^{1} \integral_{x^{2}}^{x}{z(x,y) \ dy \ dx} [/mm]
>
> Danke
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 So 27.04.2008 | | Autor: | tobe |
Super , das hat mir sehr weiter geholfen.
Danke Mathepower :D
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:04 Di 27.05.2008 | | Autor: | tobe |
| Aufgabe | Vertauschen sie die Integrationsreihenfolge und berechnen sie:
[mm] \integral_{0}^{1} \integral_{\wurzel{y}}^{2} sin(\pi x^{3} [/mm] dx dy |
Bei der Aufgabe weiss ich nicht so ganz weiter.
ich kann ja folgendes schreiben:
0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 4 und [mm] \wurzel{}y \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2
-> [mm] \wurzel{y} \le [/mm] x und [mm] x\le2
[/mm]
-> y [mm] \le x^{2}
[/mm]
Doch wie geht es nun weiter?
Danke :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Do 29.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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