Integrationsgrenzen bestimmen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Mo 27.02.2012 | | Autor: | leith |
| Aufgabe | Aufgabe:
Über dem abgebildeten Grundgebiet G aufgespannt durch die Punkte
A(-1/1); B(1/1); C(1/-1); D(-1/-1)
soll [mm] \integral_{g}^{}{|x+y| dg} [/mm] berechnet werden. |
Hallo liebe Mathe Frende,
ich hab ein großes Problem mit dieser Aufgabe.Ich hab gar keine Ahnung wie ich hier an die Bestimmung der Grenzen rann gehen kann bzw. wie ich die Aufgabe weiter rechnen soll.Wenn mir jemand mehrere Tipps zum Lösen der Augabe geben könnte oder eine gut nachvollziehbare Lösung senden kann wäre ich sehr dafür dankbar.
Grüße Leith
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Mo 27.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Nach Fubini ist
$ [mm] \integral_{G}^{}{|x+y| d(x,y)} =\integral_{-1}^{1}{(\integral_{-1}^{1}{|x+y| dy}) dx}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Mo 27.02.2012 | | Autor: | leith |
Hallo Fred,
danke erstmal für die schnelle Hilfe. Eine Frage noch.Wie integriert mann man "|x+y|"? Muß ich eine Fallunterscheideung machen erst von -1 bis 0 und dann von 0-1?
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Die Stammfunktion der Betragsfunktion [mm]f(t) = |t|[/mm] ist bis auf eine additive Konstante [mm]F(t) = \frac{1}{2} t \, |t|[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Mo 27.02.2012 | | Autor: | leith |
Hallo Leopold,
ebenfalls danke für die schnelle Antwort. Wie kann ich das aber berechnen. Unser Prof. gibt sich nicht damit ab das wir die Stammfunktion auswendig wissen, sondern wir sollen Ihm zeigen wie darauf kommen sind. Also wenn Du mir da einen Tipp geben kannst wäre ich dankbar.
Gruß Leith
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Mo 27.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Sei f(t):=|t|
Für t >0 ist F(t):= [mm] \bruch{1}{2}t^2 [/mm] eine Stammfunktion von f.
Für t <0 ist F(t):= [mm] -\bruch{1}{2}t^2 [/mm] eine Stammfunktion von f.
Wenn Du jetzt noch zeigen kannst, dass F(t):= [mm] \bruch{1}{2}|t|t^2 [/mm]
Edit: ich meinte natürlich F(t):= [mm] \bruch{1}{2}|t|t
[/mm]
> in t=0 differenzierbar ist und F'(0)=f(0) ist, hast Du gezeigt, dass F auf [mm] \IR [/mm] eine Stammfunktion von f ist.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Mo 27.02.2012 | | Autor: | leith |
Also gehe ich recht in der Annahme das in meinem Fall ich für |x+y|dy
[mm] \pm\bruch{1}{2}|x+y|y^{2} [/mm] erhalte oder?
Ps: Entschuldigt das ich so doof frage möchte das aber geren verstehen
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Du kannst beim inneren Integral, wo ja [mm]y[/mm] als konstant anzusehen ist, einfach [mm]x+y[/mm] substituieren:
[mm]\int_{-1}^1 \left| x + y \right| ~ \mathrm{d}x[/mm]
Die innere Funktion ist linear mit Steigung 1. Man muß also nicht einmal einen Korrekturfaktor anbringen.
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Wie man die Differenzierbarkeit von [mm]F(t)[/mm] zeigen kann, hat fred97 schon geklärt (nur hat er sich bei der Hochzahl verschrieben). Anschaulich ist das sowieso klar: Es wird ja nur der linke Ast der Parabel [mm]y = \frac{1}{2} t^2[/mm] nach unten geklappt.
Für später will ich dir aber noch eine Alternative zeigen. Allerdings solltest du jetzt erst einmal bei einem Ansatz bleiben.
Mit Symmetriebetrachtungen kommt man nämlich auch ans Ziel. Zunächst überlegt man sich, wann der Betrag eine möglichst einfache Darstellung besitzt. Nämlich dann, wenn der Term in den Betragsstrichen [mm]\geq 0[/mm] ist, hier also
[mm]x + y \geq 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ y \geq -x[/mm]
Damit wird die Halbebene oberhalb der Geraden [mm]y = -x[/mm] angegeben. Schneidet man diese Halbebene mit dem Integrationsbereich [mm]Q[/mm], erhält man die Quadrathälfte [mm]Q^{+}[/mm] oberhalb der Diagonalen von [mm](-1,1)[/mm] nach [mm](1,-1)[/mm]. Die untere Quadrathälfte [mm]Q^{-}[/mm] liegt aber punktsymmetrisch zu [mm]Q^{+}[/mm]. Bei einer Punktspiegelung [mm](x,y) \mapsto -(x,y)[/mm] hinwieder bleibt der Funktionswert von [mm]g(x,y) = \left| x+y \right|[/mm] erhalten:
[mm]g(-x,-y) = \left| -x - y \right| = \left| -(x+y) \right| = \left| x+y \right| = g(x,y)[/mm]
Somit gilt:
[mm]\int_Q g(x,y) ~ \mathrm{d} (x,y) = 2 \int_{Q^{+}} g(x,y) ~ \mathrm{d} (x,y)[/mm]
Im Integral rechts können jetzt aber beim Integranden die Betragsstriche entfallen.
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