Integration von sin³x < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:05 Do 27.10.2005 | | Autor: | jasper |
hi
ich hab nochmal ne frage zur partiellen integration von sin³(x).
es gibt dazu zwar schon einen thread aber ich meine darin einen fehler gefunden zu haben und ausserdem ist es relativ dringend, und da steht das um antwort nicht gebeten wird und ich weiss nich wie man das ändert(ich bin erst seit heute mitglied).
also die aufgabe noch mal
[mm] \integral \sin^3(x)
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Bist du dir wirklich sicher dass du partielle Integration meinst und nicht Integration durch Substitution?
Partielle Integration macht ja vom Prinzip her nur dann Sinn, wenn die zu integrierenden Teile der Funktion unterschiedlich integriert werden können.
[mm] \integral {u * v' dx} = u * v - \integral {u' * v\; dx} [/mm]
Das Produkt u' * v muss so gwählt werden, dass das rechts stehende Integral leicht lösbar ist.
Bei dir sind allerdings für jedes Partiell integrierte Stück der Funktion alle rechts stehenden Integrale gleich schwer oder leicht lösbar.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Do 27.10.2005 | | Autor: | jasper |
ganz sicher partielle integration ;)
man kann es ja aufteilen in
sin(x)*sin²(x)
ich hab hier nochmal den link vom anderen thread:
https://matheraum.de/read?t=95973&v=t
das sieht ja auch ganz schön aus, aber ich versteh das ende nicht ;)
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Hi, jasper,
> ganz sicher partielle integration ;)
> man kann es ja aufteilen in
>
> sin(x)*sin²(x)
> ich hab hier nochmal den link vom anderen thread:
>
> https://matheraum.de/read?t=95973&v=t
Um sicher zu gehen: Du meinst das da:
[mm] \integral{sin^{3}(x) dx} [/mm] = ... [mm] -[1-cos^{2}(x)]*cos(x) [/mm] - [mm] 2*\integral{sin(x)*(1-sin^{2}(x)) dx} [/mm] ?!
Da glaub' ich übrigens hat Loddar einen Vorzeichenfehler gemacht. Es müsste heißen:
[mm] \integral{sin^{3}(x) dx} [/mm] = ... [mm] -[1-cos^{2}(x)]*cos(x) [/mm] + [mm] 2*\integral{sin(x)*(1-sin^{2}(x)) dx} [/mm] !!
Nun denn! Ich forme die rechte Seite mal fertig um:
... = -cos(x) + [mm] cos^{3}(x) [/mm] + [mm] 2*\integral{(sin(x)-sin^{3}(x)) dx}
[/mm]
= -cos(x) + [mm] cos^{3}(x) [/mm] + [mm] 2*\integral{sin(x)dx} [/mm] - [mm] 2*\integral{sin^{3}(x) dx}
[/mm]
= -cos(x) + [mm] cos^{3}(x) [/mm] - 2cos(x) - [mm] 2*\integral{sin^{3}(x) dx}
[/mm]
Da ist es also wieder,
das anfangs gesuchte Integral
[mm] \integral{sin^{3}(x) dx}!
[/mm]
Im Buch von Barth, "Anschauliche Analysis II" wird dieses "Wiederauftauchen" mit "Typ Phönix" bezeichnet !
(Wie der Phönix aus der Asche taucht nach längerer Rechnerei unser ursprüngliches Integral wieder auf!).
Nennen das Integral mal J, also: J = [mm] \integral{sin^{3}(x) dx} [/mm]
Dann lässt sich unsere obige Gleichung kürzer schreiben als:
J = -cos(x) + [mm] cos^{3}(x) [/mm] - 2cos(x) - 2*J |+2*J
3*J = -cos(x) + [mm] cos^{3}(x) [/mm] - 2cos(x)
oder:
3*J = -3cos(x) + [mm] cos^{3}(x)| [/mm] : 3
J = -cos(x) + [mm] \bruch{1}{3}*cos^{3}(x)
[/mm]
Einziges Problem beim "Typ Phönix": Wo kommt die Integrationsvariable ins Spiel? Ich selbst bin der Meinung: Spätestens bei der Berechnung des letzten Teilintegrals.
Daher müssten wir oben genauer schreiben:
... = -cos(x) + [mm] cos^{3}(x) [/mm] - 2cos(x) +c* - [mm] 2*\integral{sin^{3}(x) dx}
[/mm]
Und anschließend:
J = -cos(x) + [mm] cos^{3}(x) [/mm] - 2cos(x) + c* - 2*J |+2*J
3*J = -cos(x) + [mm] cos^{3}(x) [/mm] - 2cos(x) + c*
oder:
3*J = -3cos(x) + [mm] cos^{3}(x) [/mm] + c*| : 3
J = -cos(x) + [mm] \bruch{1}{3}*cos^{3}(x) [/mm] + c
(wobei man statt [mm] \bruch{1}{3}*c* [/mm] gleich c schreibt!)
Hoffe, nun sind alle Klarheiten beseitigt!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 Do 27.10.2005 | | Autor: | jasper |
hi
vielen dank habs jetzt verstanden, hab nen völlig bekloppten ausmultiplizierfehler gemacht  , das war mein fehler :D
den vorzeichen fehler habe ich ja auch schon als korrektur zum thread geschrieben.
auf jeden fall noch mal vielen dank, hab meinen fehler auf jeden fall gefunden
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