Integration von sin² < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Do 03.03.2005 | | Autor: | Ares1982 |
Diese Frage wiurde in keinem Forum gestellt!!
Hi @all,
ich habe eine kurze Frage:
Das IOntegral von sin²x in den Grenzen von 0-Pi müsste null ergeben, aber ich bekomme dort pi/4 raus. kann mir bitte einer bestätigen, dass dort auh wirklich null rauskommt und vllt einer mal vorrechnet? ich bin mit meinen nerven langsam am ende! Danke im vorraus!!!!
Ares
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Hallo Ares,
wie kommst Du darauf daß es 0 ergeben sollte?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:12 Do 03.03.2005 | | Autor: | Soldi01 |
Also 0 kommt da bicht raus sondern [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Do 03.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ares!
> Das Integral von sin²x in den Grenzen von 0-Pi müsste null
> ergeben, aber ich bekomme dort pi/4 raus. kann mir bitte
> einer bestätigen, dass dort auh wirklich null rauskommt und
> vllt einer mal vorrechnet?
Wie hast Du denn gerechnet bzw. wie lautet denn Deine Stammfunktion?
Die vorgehensweise zur Ermittlung der Stammfunktion lautet hier: partielle Integration mit:
$u \ = \ [mm] \sin(x)$ [/mm] $u' \ = \ [mm] \cos(x)$
[/mm]
$v' \ = \ [mm] \sin(x)$ [/mm] $v \ = \ - [mm] \cos(x)$
[/mm]
[mm] $\integral_{}^{} {\sin^2(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \sin(x)*[-\cos(x)] [/mm] - [mm] \integral_{}^{} {\cos(x)*[-\cos(x)] \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -\sin(x)*\cos(x) [/mm] + [mm] \integral_{}^{} {\cos^2(x) \ dx}$
[/mm]
Nun den trigonometrischen Pythagoras anwenden:
[mm] $\sin^2(x) [/mm] + [mm] \cos^2(x) [/mm] = 1$ [mm] $\Rightarrow$ $\cos^2(x) [/mm] = 1 - [mm] \sin^2(x)$
[/mm]
Wenn wir das nun einsetzen, erhalten wir:
[mm] $\integral_{}^{} {\sin^2(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -\sin(x)*\cos(x) [/mm] + [mm] \integral_{}^{} [/mm] {1 - [mm] \sin^2(x) [/mm] \ dx} \ = \ [mm] -\sin(x)*\cos(x) [/mm] + [mm] \integral_{}^{} [/mm] {1 \ dx} - [mm] \integral_{}^{} {\sin^2(x) \ dx}$
[/mm]
Nun den Ausdruck [mm] $\integral_{}^{} {\sin^2(x) \ dx}$ [/mm] auf die linke Seite bringen und durch 2 teilen sowie das "Integrälchen" auf der rechten Seite ermitteln.
Ich will Dich ja nicht weiter beunruhigen, aber ich erhalte sogar noch ein anderes Ergebnis:
[mm] $\integral_{0}^{\pi} {\sin^2(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 1,57$
Grüße
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Do 03.03.2005 | | Autor: | Ares1982 |
Hallo,
ich möchte mich bei euch entschuldigen, denn ich habe erstens nicht die ganze Funktion aufgeschrieben und zweitens mein falsches ergebnis.
ALSO: Es sollte integriert werden: [mm] \bruch{2}{ \pi} \integral_{0}^{ \pi} [/mm] {sin²x) dx}
Ich bekomme hier [mm] \bruch{ \pi²}{4} [/mm] raus, aber es kommt hier 1 raus.
Ich entschuldige mich nochmals für den Fehler. Ich hoffe, dass ihr mir hier helfen könnt.
MFG Ares
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Do 03.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ares!
Wie lautet denn Deine Stammfunktion, mit der Du auf Dein Ergebnis von [mm] $\bruch{\pi^2}{4}$ [/mm] kommst?
Oder bringst Du nur bei der Multiplikation der Brüche etwas durcheinander?
Das Ergebnis der eigentlichen Integration ist ja: [mm] $\bruch{\pi}{2}$ [/mm] (siehe oben).
Damit wird insgesamt:
[mm] $\bruch{2}{\pi} [/mm] * [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2 * \pi}{\pi * 2} [/mm] \ = \ 1$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Do 03.03.2005 | | Autor: | Ares1982 |
Also ich habe vielleicht den fehler gefunden, aber brauch nochmal nen Kommentar dazu
Es steht ja: [mm] \bruch{2}{ \pi} \integral_{0}^{ \pi} [/mm] {sin²(x) dx} = [mm] \bruch{ \pi}{2}
[/mm]
Ich habe hier mit pi/2 geteilt, damit ich die linke Seite nur [mm] \integral_{0}^{ \pi} [/mm] {sin²(x) dx} habe, aber du hast einfach die beiden Terme multipliziert.
Kannst du mir das kurz erläutern? Danke aber für das schnelle ergebnis
Ares
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Do 03.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ares!
Es gilt ja (wie bereits mehrfach angedeutet  ):
[mm] $\integral_{0}^{ \pi}{\sin^2(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{2}$
[/mm]
Insgesamt haben wir also: [mm] $\bruch{2}{\pi} [/mm] * [mm] \underbrace{\integral_{0}^{ \pi}{\sin^2(x) \ dx}}_{= \ \bruch{\pi}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{\pi} [/mm] * [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] \ = \ 1$
Klar nun?
Wo das [mm] $\bruch{\pi}{2}$ [/mm] auf der rechten Seite Deiner Gleichung herkommt, ist mit jetzt unklar ...
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:58 Do 03.03.2005 | | Autor: | Ares1982 |
hi Loddar,
wie das bei mir zustande kommt ist egal, Ich danke dir für die Antwort. Habe es jetzt vollkommen verstanden!
MFG Ares
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