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| Aufgabe | Übungsblatt2 Aufgabe 7:
Berechnen Sie die Stammfunktion bzw. Integrale:
2)
[mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{-x^{2}-6x} dx}
[/mm]
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Hallo dem Vorhilfe/Matheraum Team,
Ich habe Probleme beim lösen der oben genannten Aufgabe!
Hier mein Ansatz:
[mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{-x^{2}-6x} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{(-x^{2}-6x)^{\bruch{1}{2}} dx}
[/mm]
Da mich Substitution nicht weitergebracht hat, da ich durch das [mm] x^2 [/mm] immer ein x übrig behalten würde, habe ich mir das Polynom genauer angesehen und dieses zerlegt!
[mm] \integral_{a}^{b}{(-(x^{2}+6x+9)+9)^{\bruch{1}{2}} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{(-(x+3)^2+9)^{\bruch{1}{2}} dx}
[/mm]
[mm] 3*\integral_{a}^{b}{(-(\bruch{x+3}{3})^2+\bruch{9}{9})^{\bruch{1}{2}} dx}
[/mm]
[mm] 3*\integral_{a}^{b}{(-(\bruch{x+3}{3})^2+1)^{\bruch{1}{2}} dx}
[/mm]
[mm] 3*\integral_{a}^{b}{(1-(\bruch{x+3}{3})^2)^{\bruch{1}{2}} dx}
[/mm]
Nun ist mir aufgefallen, das ich dem arcsin(x) näher komme!
(arcsin(x))' = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
Um das ganze zu vereinfachen habe ich nun substituiert!
s = [mm] \bruch{x+3}{3}
[/mm]
s' = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
3ds = dx
nun erhalte ich folgendes Integral:
[mm] 3*3*\integral_{\bruch{a+3}{3}}^{\bruch{b+3}{3}}{(1-s^2)^{\bruch{1}{2}} ds}
[/mm]
[mm] 9*\integral_{\bruch{a+3}{3}}^{\bruch{b+3}{3}}{(1-s^2)^{\bruch{1}{2}} ds}
[/mm]
Mir war noch etwas in Erinnerung, das ich aus dem forderen Teil eine Stammfunktion bilden kann wenn ich den hinteren Teil als Integral + Ableitung aufschreibe! Jedoch kenne ich die Regel hierzu nicht mehr genau und mir fällt der Name auch nicht ein!
1. Frage: Wie lautet die Regel/die Bezeichung hierfür ?
Gesagt, getan:
(| <-> soll angeben Grenzen von bis)
9s * [mm] \wurzel{(1-s^2)} [/mm] | - [mm] \integral_{\bruch{a+3}{3}}^{\bruch{b+3}{3}}{\bruch{1}{2} * \bruch{1}{\wurzel{(1-s^2)}} * (-2s) * 9 ds}
[/mm]
Ich meine so müßte die Regel Funktioniert haben: f(x) - [mm] \integral_{a}^{b}{(f(x))' dx}
[/mm]
9s * [mm] \wurzel{(1-s^2)} [/mm] | - [mm] \integral_{\bruch{a+3}{3}}^{\bruch{b+3}{3}}{\bruch{1}{2} * \bruch{1}{\wurzel{(1-s^2)}} * (-2s) * 9 ds}
[/mm]
So, nun weiter umformen:
9s * [mm] \wurzel{(1-s^2)} [/mm] | - [mm] \bruch{9}{2} \integral_{\bruch{a+3}{3}}^{\bruch{b+3}{3}}{\bruch{1}{\wurzel{(1-s^2)}} * (-2s) ds}
[/mm]
Nun via Partieller Integration das Integral lösen:
9s * [mm] \wurzel{(1-s^2)} [/mm] |
Den vorderen Teil lasse ich mal so stehen!
- [mm] \bruch{9}{2} \integral_{\bruch{a+3}{3}}^{\bruch{b+3}{3}}{\bruch{1}{\wurzel{(1-s^2)}} * (-2s) ds} [/mm] = 9s * [mm] \wurzel{(1-s^2)} [/mm] - [mm] \bruch{9}{2} [/mm] * - [mm] \bruch{2}{2}s^2 \integral_{\bruch{a+3}{3}}^{\bruch{b+3}{3}}{\bruch{1}{\wurzel{(1-s^2)}} ds}
[/mm]
- [mm] \bruch{9}{2} \integral_{\bruch{a+3}{3}}^{\bruch{b+3}{3}}{\bruch{1}{\wurzel{(1-s^2)}} * (-2s) ds} [/mm] = 9s * [mm] \wurzel{(1-s^2)} [/mm] - [mm] \bruch{9}{2} [/mm] * - [mm] \bruch{2}{2}s^2 \integral_{\bruch{a+3}{3}}^{\bruch{b+3}{3}}{\bruch{1}{\wurzel{(1-s^2)}} ds}
[/mm]
- [mm] \bruch{9}{2} \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{\wurzel{(1-(\bruch{x+3}{3})^2)}} * (-2(\bruch{x+3}{3})) ds} [/mm] = [mm] 9(\bruch{x+3}{3}) [/mm] * [mm] \wurzel{(1-(\bruch{x+3}{3})^2)} [/mm] - [mm] \bruch{9}{2} [/mm] * - [mm] (\bruch{x+3}{3})^2 [/mm] * [mm] arcsin((\bruch{x+3}{3})) [/mm] |
Das wieder nen wenig zurückgeformt ergibt:
- [mm] \bruch{9}{2} \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{\wurzel{(1-(\bruch{x+3}{3})^2)}} * (-2(\bruch{x+3}{3})) ds} [/mm] = [mm] 9(\bruch{x+3}{3}) [/mm] * [mm] \wurzel{-x^2-6x} [/mm] + [mm] \bruch{9}{2} [/mm] * [mm] \bruch{(x^2+6x+9)}{9} [/mm] * [mm] arcsin((\bruch{x+3}{3})) [/mm] |
Nun bin ich schon nahe am Ergebnis (alles was drin stehen müßte habe ich ;)), jedoch hänge ich hier nun fest!
[mm] 9\bruch{x+3}{3} [/mm] * [mm] \wurzel{-x^2-6x} [/mm] - [mm] 9(\bruch{x+3}{3}) [/mm] * [mm] \wurzel{-x^2-6x} [/mm] + [mm] \bruch{9}{2} [/mm] * [mm] \bruch{(x^2+6x+9)}{9} [/mm] * [mm] arcsin((\bruch{x+3}{3})) [/mm] |
Vielen Dank im Voraus!
Was habe ich genau falsch gemacht ?
Wo liegen meine Fehler - wenn möglich zeigt mir doch alle auf, damit ich diese verhindern kann!
Wie kann ich die Aufgabe sinnvoll lösen ?
* Ich habe diese Aufgabe niergens anders gepostet!*
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Hallo,
erstmal Respekt für diese ausführliche Bearbeitung... Das hat dich mit Sicherheit einiges an Zeit gekostet.
Deine ersten Schritte sind richtig. Quadratisch ergänzen unter der Wurzel ist okay. Dann substituiere einfach nur u=(x+3). Danach drängt sich eine trigonometrische Substitution mit z=sin(u) förmlich auf. damit kommst du auch wunderbar zum ziel.
Lg
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Danke für die schnelle Antwort & den Lob :)!
Ja stimmt schon - obgleich viele Copy and Past war hats etwas gedauert!
Danke für den Tipp werde es gleich noch mal versuchen!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:50 Mo 19.04.2010 | | Autor: | MontBlanc |
hallo,
ein kleiner zusatz. denke daran, dass du nicht einfach z=sin(u) substituieren kannst, es müsste etwas sein wie z=a*sin(u) wobei a eine konstante ist, die du korrekt wählen musst.
lg
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Hi,
Also, die quadratische Ergänzung hatte ich oben ja schon beschrieben, daraus folgte ja folgendes:
[mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{-(x+3)^2+9} dx}
[/mm]
bzw.
[mm] 3*\integral_{a}^{b}{\wurzel{-(\bruch{x+3}{3})^2+1} dx}
[/mm]
Substituieren von s=(x+3); s'=1; ds = dx ergibt nun:
[mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{-(s)^2+9} ds}
[/mm]
bzw.
[mm] 3*\integral_{a}^{b}{\wurzel{-(\bruch{s}{3})^2+1} ds}
[/mm]
Soweit ist ja alles noch klar und auch einfach gewesen!
Nun sehe ich leider keine trigonometrische Form um sin(z) anzuwenden!
:(
Die Formen die ich von Sinus kenne sind die folgenden:
(sin(x))' = cos(x)
[mm] \integral_{a}^{b}{sin(x) dx} [/mm] = -cos(x) |
sin(x) = [mm] \bruch{1}{2i}*(e^{ix}-e^{-ix})
[/mm]
sin(x) = [mm] \bruch{1}{csc(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{sin(x)}} [/mm]
sin(x) = [mm] cos(\bruch{\pi}{2-x}) [/mm] //Phasenverschiebung
Daher meine Frage: Woran erkenne ich die Sinusfunktion hierbei ?
Wie müßte ich hiermit nun weiter vorgehen ?
Wie wäre der nächste Schritt ?
Vielen Dank für die Hilfe :)
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Hallo,
du hast [mm] \wurzel{9-(x+3)^2}
[/mm]
du substituierst u=x+3
dann ist
[mm] \integral{\wurzel{9-(x+3)^2}dx}=\integral{\wurzel{9-(u)^2}du}
[/mm]
Jetzt substituiere u=3*sin(z)
[mm] \bruch{du}{dz}=3*cos(z)
[/mm]
du=3*cos(z)dz
das Integral wird also zu:
[mm] \integral{\wurzel{9-9*sin^2(z)}*3cos(z)dz}=\integral{9*\wurzel{1-sin^2(z)}*cos(z)dz}=...
[/mm]
Kommst du jetzt weiter ?
Lg
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Danke schön, ich hoffe doch ;)
Habe das mit der Substitution falsch verstanden (Dachte das es eine andere Schreibweise für sinus wäre) und diese auf diesem Wege noch nicht angewendet!
Also, im Vorfeld habe ich diese nur zur Vereinfachung genutzt und keine neuen Funktionen mit eingebaut ;)
Werde mir diesen Weg nun noch einmal in Ruhe angucken - nun erstmal zum Mathetutorium!
Denke schon das ich weiterkommen werde! Ansonsten melde ich mich später noch mal!
*Aber ab hier sollte mir zur Not Wolframalpha weiterhelfen!*
;)
Schönen Tag wünsche ich dir noch!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Mo 19.04.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Gerne!
Wünsche ich auch.
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