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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Cassius |
Hi, haben ein Vektorfeld das wie folgt aussieht:
v= [mm] \bruch{vec{x}}{|vec{x}|^{3}}
[/mm]
Nun ja die Divergenz dieses Feldes ist zweifelsohne =0
Wir sollen jetzt aber mit Hilfe des Satzes von Gaus Ein Integral mit dem Skalarprodukt aus V und dem Einheitsaußennormalenfeld berechnen über die Oberfläche einer S2 Sphäre berechnen. NUn der Satz von Gauß mach mir ja daraus ein Integral mit der Divergenz (v) über die ganze Kugel (Volumen).
Problem ist, dieses Integral darf nicht Null sein, wird es aber wenn diese Divergenz 0 ist. Was kann ich da tun. Ich weiß, dass es einen Trick geben muss.
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Hallo Cassius,
dass Du bisher keine Antwort bekommen hast, liegt wohl auch daran, dass Dein Posting sehr unpräzise ist. Ich kann auch nur vermuten worum's geht:
[mm] \vec{v}(\vec{x}) [/mm] := [mm] \bruch{\vec{x}}{x^{3}} [/mm] mit x = [mm] |\vec{x}|
[/mm]
Das wäre ein radiales 1/r² Feld, in der Physik etwa das elektrische Feld einer (positiven) Punktladung. V = [mm] \IR³ [/mm] vermutlich, und Du sollst berechnen:
[mm] \integral_{ V} {div(\vec{v}(\vec{x})) dV} = \integral_{\partial V}{\vec{v}(\vec{x}) d\vec{A}}[/mm] ?
In der Tat ist die Divergenz überall 0, außer bei [mm] \vec{0}, [/mm] dort ist sie [mm] 4\pi [/mm] .
Wenn Du eine beliebige Sphäre um [mm] \vec{0} [/mm] mit Radius r nimmst, sind [mm] \vec{v}(\vec{r}) [/mm] und [mm] d\vec{A}(\vec{r}) [/mm] parallel gerichtet, also [mm] \vec{v}d\vec{A} [/mm] = r/r³ dA und dA = [mm] r²sin(\theta)d\theta d\phi [/mm] (in Kugelkoordinaten) also [mm] \partial [/mm] V = [mm] 4\pi [/mm] r², und dann gilt:
[mm]\integral_{\partial V} {\vec{v}(\vec{x}) d\vec{A}} = 4\pi[/mm]
Das ist das in der Physik bekannte Ergebnis div(E) = [mm] 4\pi [/mm] "ro".
Gruß, Richard
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Hallo Commotus,
Ich hatte meine Bearbeitungszeit überschritten und matux hat mich rausgeworfen, ohne die Antwort als solche zu markieren.
Gruß, Richard
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