Integration über Indikatorfunk < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Sa 22.09.2007 | | Autor: | Mathec |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Für eine reelle Zufallsvariable X mit [mm] X\ge0 [/mm] gilt:
EX = [mm] \integral_{0}^{\infty}{(1-F(x)) dx} [/mm] |
Der Beweis aus unserem Skript fängt auf der rechten Seite an und schließt dann auf EX. Bei einem Schritt weiß ich absolut nicht weiter:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{x_{(t,\infty)}(X)dt} [/mm] = X
[mm] (x_{A}(X) [/mm] sei hier die Indikatorfunktion)
Ich hoffe, mir kann jemand helfen! Bin fast am Verzweifeln :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Sa 22.09.2007 | | Autor: | Blech |
> Zeigen Sie: Für eine reelle Zufallsvariable X mit [mm]X\ge0[/mm]
> gilt:
> EX = [mm]\integral_{0}^{\infty}{(1-F(x)) dx}[/mm]
> Der Beweis aus
> unserem Skript fängt auf der rechten Seite an und schließt
> dann auf EX. Bei einem Schritt weiß ich absolut nicht
> weiter:
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{x_{(t,\infty)}(X)dt}[/mm] = X
> [mm](x_{A}(X)[/mm] sei hier die Indikatorfunktion)
[mm]\chi_{(t,\infty)}(X) = \begin{cases}1,& f"ur\ t \leq X\\ 0,& f"ur\ t > X\end{cases}[/mm]
[mm]\Rightarrow \integral_{0}^{\infty}{\chi_{(t,\infty)}(X)\ dt} = \integral_{0}^{X}{1\ dt} = X[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 So 23.09.2007 | | Autor: | Mathec |
Hi!
Das klingt logisch und dann würde ich das auch verstehen, aber warum geht das Integral dann nur bis X und nicht mehr bis "unendlich"????
Das ist das, was ich nicht verstehe!!!
Lieben Dank
Mathec
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 So 23.09.2007 | | Autor: | Blech |
> Hi!
> Das klingt logisch und dann würde ich das auch verstehen,
> aber warum geht das Integral dann nur bis X und nicht mehr
> bis "unendlich"????
> Das ist das, was ich nicht verstehe!!!
Weil die Indikatorfunktion die Integrationsgrenzen verändert. Bzw. sie sorgt dafür, daß die zu integrierende Funktion (in Deinem Beispiel 1) außerhalb des von der Indikatorfunktion vorgegebenen Bereichs gleich 0 ist, was den gleichen Effekt hat:
[mm]\integral_{A}{f(t)\chi_{B}(t)\ dt}= \integral_{A\cap B}{f(t)\ dt}[/mm]
In diesem Fall ist es ein bißchen anders, weil wir nicht [mm]\chi_B(t)[/mm] haben sondern [mm]\chi_{B(t)}(a)[/mm] (a fest). Aber:
[mm]\chi_{(t,\infty)}(X) = \begin{cases}1,& f"ur\ t < X\\ 0,& f"ur\ t \geq X\end{cases} = \chi_{(-\infty,X)}(t)[/mm]
(Hier hatte ich oben einen Fehler drin. es muß [mm]t
[mm]\Rightarrow \integral_{0}^{\infty}{\chi_{(t,\infty)}(X)\ dt} = \integral_{0}^{\infty}{\chi_{(-\infty,X)}(t)\ dt} =\integral_{0}^{X}{1\ dt} + \integral_{X}^{\infty}{0\ dt} = X[/mm]
> Lieben Dank
> Mathec
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 So 23.09.2007 | | Autor: | Mathec |
Aha  Habs nun verstanden! Danke für deine Erklärung!!!
Mathec
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