Integration über Dreieck < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] D:=\{\vektor{x\\y}\in\IR^{2}|x,y\ge0; y\le 1-x\} [/mm] und sei [mm] f:[0,1]\to\IR [/mm] stetig. Zeigen Sie für m, [mm] n\in\IN:
[/mm]
[mm] \integral_{D}f(x+y)x^{m}y^{n}d\vektor{x\\y}=\bruch{m!*n!}{(n+m+1)!}\integral_{0}^{1}f(t)*t^{m+n+1}dt [/mm] |
Huhu!
Das einzige, was mir bis jetzt eingefallen ist, wie man das linke Integral umschreiben könnte ist:
[mm] \integral_{D}f(x+y)x^{m}y^{n}d\vektor{x\\y}=\integral_{0}^{1}[\integral_{0}^{1-x}f(x+y)x^{m}y^{n}dy]dx
[/mm]
Nun hatte ich die Idee t=x+y zu setzen, aber irgendwie scheint das nicht so Recht zu klappen. Und wo sollen da denn überhaupt die Fakultäten herkommen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Blech |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi,
> $ \integral_{D}f(x+y)x^{m}y^{n}d\vektor{x\\y}=\integral_{0}^{1}[\integral_{0}^{1-x}f(x+y)x^{m}y^{n}dy]dx $
das kannst Du jetzt substituieren+umformen zu
$\int_0^1\int_0^t f(t) x^m (t-x)^n\ dx\, dt$
das ergibt auf jeden Fall $t^{m+n+1}f(t)$ und da tauchen ne Menge Fakultäten auf, also sieht's nicht schlecht aus für Dein gewünschtes Ergebnis. =)
EDIT: Ja die Fakultäten stimmen. Die benötigte Formel steht sogar auf Wikipedia zum Binomialkoeffizienten, weil $\frac{m!n!}{(m+n+1)!$ ja die Betafunktion B(m+1,n+1) ist.
ciao
Stefan
|
|
|
|
