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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Mo 23.02.2009 | | Autor: | kaktus |
| Aufgabe | Für 0 < a < b, k ganz berechne man direkt aus der Definition des Integrals (ohne Hauptsatz)
a) [mm] \integral_{a}^{b}{x^{k} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{a}^{b}{e^{x} dx} [/mm] |
Hallo,
ich weiß leider nicht, wie ich das Integral ohne den Hauptsatz (das ist doch die Berechnung mithilfe der Stammfunktion?!) berechnen soll....
Bitte helft mir...
Grüße,
kaktus
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> Für 0 < a < b, k ganz berechne man direkt aus der
> Definition des Integrals (ohne Hauptsatz)
> a) [mm]\integral_{a}^{b}{x^{k} dx}[/mm]
> b) [mm]\integral_{a}^{b}{e^{x} dx}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich weiß leider nicht, wie ich das Integral ohne den
> Hauptsatz (das ist doch die Berechnung mithilfe der
> Stammfunktion?!) berechnen soll....
>
> Bitte helft mir...
Hallo,
was Du tun sollst, steht doch da: Du sollst die Definition des Integrals verwenden.
Erster Schritt zur Lösung: finde heraus, wie das Integral definiert wurde.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Mo 23.02.2009 | | Autor: | kaktus |
Definition:
$ [mm] \int_{a}^{b} [/mm] f(x) [mm] \, [/mm] dx = [mm] \lim_{n \to \infty} \bruch [/mm] {b-a}{n} [mm] \sum_{i=1}^{n}f(a+i\cdot{}\bruch{b-a}{n}) [/mm] $
a) eingesetzt:
$ [mm] \int_{a}^{b} x^k \, [/mm] dx = [mm] \lim_{n \to \infty} \bruch [/mm] {b-a}{n} [mm] \sum_{i=1}^{n}(a+i\cdot{}\bruch{b-a}{n})^k [/mm] $
Kann ich damit weiter rechnen oder ist das alles völlig falsch?
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Hallo kaktus,
richtig eingesetzt. So weitermachen...
Grüße
reverend
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:10 Di 24.02.2009 | | Autor: | blubb_ |
Morgen,
sitze jetz auch shco länger an dieser Aufgabe und komm mit der Umformung nicht weiter.
Mir ist (durch Rechnen über den Hauptsatz) auhc klar, was rauskommen muss, aber wie ich dorthin gelange ist mir ein RÄtsel :(
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> sitze jetz auch shco länger an dieser Aufgabe und komm mit
> der Umformung nicht weiter.
Hallo,
es hängt ja jetzt wohl an der Reihe.
Was hast Du denn bisher versucht? Das solltest Du uns schon verraten.
Wenn ich bei sowas nicht weiterkomme, versuche ich immer erstmal ein paar Rechnungen mit konkreten Zahlen.
Ich selbst würde mir die Summe jetzt erstmal für n=3,4 betrachten, in der Hoffnung, daß ich daran sehe, wie die Sache läuft.
Hast Du für die Reihenglieder schonmal den binomischen Satz verwendet?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:38 Di 24.02.2009 | | Autor: | blubb_ |
Ich hab, auch so wie du vorgeschlagen hast, die ersten beiden Reihenglieder hingeschrieben und dann ausmultipliziert.
Da entstehen bei mir aber immer Terme, die durch n geteilt werden und für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}würde [/mm] das ja gegen 0 gehen.
[mm] \bruch{a(b-a)}{n}+\bruch{(b-a)²}{n²}+\bruch{a²(b-a)}{n}+\bruch{4a(b-a)²}{n²}+\bruch{4(b-a)³}{n³}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 Di 24.02.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Da hast du noch nen "Dreher" drin, einer der Terme geht eben nicht gegen Null.
Tipp. Es ist der n-te, da steht ja dann:
[mm] \left(a+n*\bruch{b-a}{n}\right)^{k}
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 Di 24.02.2009 | | Autor: | blubb_ |
dann wäre ja [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] b^{k}?
[/mm]
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Hallo blubb_,
kaktus hatte die Reihe doch schon richtig formuliert. Nun brauchst Du einen Weg, ihren Grenzwert zu bestimmen.
[mm] b^k [/mm] ist aber nicht richtig. Das richtige Ergebnis weißt Du ja sicher "einfach so": [mm] \bruch{1}{k+1}(b^k-a^k)
[/mm]
Nun ist [mm] (b^k-a^k) [/mm] ja durch (b-a) teilbar, so dass Du auch den Wert der Summe sozusagen rückwärts bestimmen kannst.
Schreib mal die Reihe ohne das Summenzeichen auf, so die ersten drei und die letzten zwei Glieder und Pünktchen dazwischen... Was davon "bleibt", wenn n gegen [mm] \infty [/mm] geht?
Grüße
reverend
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