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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Fr 25.05.2012 | | Autor: | Peao |
| Aufgabe | | Berechnen sie: [mm] \integral{\bruch{1}{cos(x)*sin(x)} dx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
bei dieser Aufgabe komme ich nicht wirklich weit.
Ich finde es riecht nach Substitution vom Nenner damit ich auf
[mm] \integral{\bruch{1}{u} du} [/mm] komme, da ich das ja leicht integrieren kann.
Nur finde ich keine Substitution, die mich auf diese Form bringt und die Integration vereinfacht.
u=sin(x)*cos(x) macht ja keinen sinn, da dann mein du schwierig zu handhaben wird.
Kann mir jemand einen Tipp zum umformen des Nenners bzw. der Substitution geben?
Gruß
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Hallo Peao,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Berechnen sie: [mm]\integral {\bruch{1}{cos(x)*sin(x)} dx}[/mm]
> Ich finde es riecht nach Substitution vom Nenner damit ich auf
>
> [mm]\integral {\bruch{1}{u} du}[/mm] komme, da ich das ja leicht
> integrieren kann.
Die Substitution z:=tan(x) tut es.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Fr 25.05.2012 | | Autor: | Peao |
Hallo kamaleonti,
vielen Dank für deine Hilfe. Ich komme nun auf:
[mm]\integral {\bruch{1}{cos(x)*sin(x)} dx}[/mm]
Substitution: u=tan(x)
Für mein neues du komme ich auf: [mm] dx=du*(cos(x))^{2}
[/mm]
in meinem Integral kürzt sich ein cos(x):
[mm]\integral {\bruch{cos(x)}{sin(x)} du}[/mm]
das ist:
[mm]\integral {\bruch{1}{u} du}[/mm]
Stammfunktion davon ist: ln(u)
Resubstitution: u=tan(x) ---> Lösung: ln(tan(x))
Falls das stimmen sollte habe ich eine Verständnisfrage, die ich nicht gut formulieren kann:
Ist es das prinzipielle Vorgehen bei der Substitution die Integrationsvariable zu ändern und dadurch das Integral zu vereinfachen?
Bis jetzt war mein Gedankengang eher eine Funktion zu ersetzen (hier z.B. sin(x)=u). Das wäre bei dieser Aufgabe allerdings nicht sinnvoll.
Gruß
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Hallo,
dein Ergebnis enthält noch einen kleinen, aber fatalen Schönheitsfehler. Es ist
[mm]\integral{\bruch{dx}{x}}=ln|x|+C[/mm]
und somit die Lösung deines Integrals
[mm]\integral{\bruch{dx}{sinx*cosx}}=ln|tanx|+C[/mm]
Wenn man nämlich die Betragszeichen weglässt, erhält man eine Stammfunktion, die nur noch auf Teilen des Definitionsbereiches gilt.
Zu deiner zweiten Frage: es liegt in der Natur der Sache Substitution, dass man eine Größe durch eine andere ersetzt. Das Problem, welches hier beim Integral auftaucht, ist das Differenzial. Man kann es - sofern das Integral überhaupt eine Substitution erlaubt, durch Ableiten der Substitutionsgleichung und Auflösen nach dx ebenfalls Substituieren.
Gruß, Diophant
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