Integration im \IR^2 < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:52 So 07.01.2007 | | Autor: | cjDj |
Hallo,
Hat jemand da eine Idee wie man Anfangen könnte?
[mm] \integral_{G}^{}{(x*y)^{3}*\wurzel[4]{\bruch{x}{y}}*e^-(x*y)^{4}-((\bruch{x}{y})^{\bruch{1}{4}})dx dy}
[/mm]
mit [mm] y_{1}(x)=\bruch{x}{256} [/mm] ; [mm] y_{2}(x)=\bruch{\wurzel{3}}{x}; [/mm]
[mm] y_{3}(x)=256x [/mm] ; [mm] y_{4}(x)=\bruch{1}{x}; [/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Es ist nicht nett von dir, hier einfach eine Aufgabe hinzuknallen - nach der Methode: "Jetzt löst die mal schön!" - und dabei nicht einmal alle Angaben vollständig hinzuschreiben. Nach einigem Raten bin ich auf die Idee gekommen, daß der Integrationsbereich [mm]G[/mm] wohl durch die vier Graphen begrenzt wird, deren Funktionsgleichungen du hingeschrieben hast, mutmaßlich auch noch im ersten Quadranten. Wenn man sich das einmal aufzeichnet, sieht man, daß [mm]G[/mm] durch die vier Ungleichungen
[mm]\text{(I)} \ \ y \leq \frac{\sqrt{3}}{x} \, , \ \ \ \text{(II)} \ \ y \geq \frac{1}{x} \, ; \ \ \ \text{(III)} \ \ y \leq 256x \, , \ \ \ \text{(IV)} \ \ y \geq \frac{x}{256}[/mm]
bestimmt ist. In äquivalenter Form lauten die:
[mm]\text{(I)} \ \ xy \leq \sqrt{3} \, , \ \ \ \text{(II)} \ \ xy \geq 1 \, ; \ \ \ \text{(III)} \ \ \frac{x}{y} \geq \frac{1}{256} \, , \ \ \ \text{(IV)} \ \ \frac{x}{y} \leq 256[/mm]
Wenn man genau hinschaut, tauchen dieselben Ausdrücke auch im Integranden auf. Es liegt also nahe, die Substitution
[mm]\text{(A)} \ \ u = xy \, , \ \ \ \text{(B)} \ \ v = \frac{x}{y}[/mm]
durchzuführen. Das Gleichungssystem läßt sich leicht nach [mm]x,y[/mm] auflösen: [mm]x = x(u,v) \, , \ y = y(u,v)[/mm]. Dann kannst du die Substitutionsregel für Bereichsintegrale anwenden:
[mm]\int_G~f(x,y)~\mathrm{d}(x,y) \ = \ \int_{G'}~f \left( x(u,v) , y(u,v) \right) \cdot \left| \frac{\partial{(x,y)}}{ \partial{(u,v)}} \right|~\mathrm{d}(u,v)[/mm]
In den Betragsstrichen steht die Funktionaldeterminante der Substitution. Den Bereich [mm]G'[/mm] bekommst du, indem du in den Ungleichungen oben die Terme in [mm]x,y[/mm] durch die Terme in [mm]u,v[/mm] ersetzt. Das gibt ein elementares Integrationsgebiet.
Und noch ein Tip: Statt der oben vorgeschlagenen Substitution kannst du es auch mit [mm]u = (xy)^4 \, , \ v = \left( \frac{x}{y} \right)^{\frac{1}{4}}[/mm] versuchen. Dann hast du am Anfang geringfügig mehr Rechenaufwand. Dafür geht es am Schluß um so schneller. (Das setzt natürlich voraus, daß ich den Integranden richtig gelesen habe. Denn die Klammersetzung ist etwas undurchsichtig: Die Klammer um den Integranden scheint zu fehlen, dafür hast du am Schluß eine überflüssige Klammer.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 So 07.01.2007 | | Autor: | cjDj |
Der Hinweis zur Integration ist,
u (x,y) = [mm] (x^2*y^2) [/mm] und v(x,y) = [mm] \wurzel[8]{x*y^-1}
[/mm]
Das Integrationsgebiet ist natürlich durch die vier Kurven berandet!
Sorry! da war ich gestern Nacht wohl noch nen bischen grogi!!
Nach dem aufmerksamen Lesen der Antwort bin ich nur einen kleinen Schritt weiter!
Für einen genaueren Lösungsansatz bin ich Dankbar!
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Noch mehr Hilfe?
Mit meiner Antwort habe ich die Prinzipien dieses Forums schon bis aufs Äußerste strapaziert. Noch mehr Hilfe würde heißen: die Lösung selbst präsentieren.
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