Integration: e^x sin^2(x) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm]\integral{e^x*sin^2x dx}[/mm] |
Hallo!
Mithilfe der partiellen Integration soll ich dieses Integral berechnen, obwohl ich schon mehrere Varianten probiert habe, will es mir nicht gelingen. Könnte mir bitte jemand einen Ansatz zeigen? Würde mich sehr freuen!
Meine Überlegungen sind:
[mm] \integral{e^x*sin^2x dx}
[/mm]
v' = [mm] e^x [/mm] v = [mm] e^x
[/mm]
u = [mm] sin^2(x) [/mm] u'= 2sin(x)*cos(x)
[mm]\integral{e^x*sin^2(x) dx} = sin^2(x)*e^x-\integral{e^x*2*sin(x)*cos(x) dx}[/mm]
Hier bleibe ich hängen, ich sehe nicht wie man das umformen könnte, oder de trigonometrischen Pythagoras anwenden könnte. habe versucht zu substituieren aber ich schaffe es noch nicht beide Methoden zu kombinieren. Falls es hier wirklich Sinn macht zu substituieren, wäre ich froh wenn mir jemand einige Schritte vorrechnen könnte.
Vielen Dank! 
Gruß
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Rene |
Du bist schon auf dem richtigen Weg!
Du kannst jetzt schreiben [mm]2\sin(x)\cos(x)=\sin(2x)[/mm]
Dann löst du jetzt erstmal das Integral
[mm]\int{e^x\sin(2x)\text{d}x}[/mm]
durch partielle Integration. Das liefert dann
[mm]\int{e^x\sin(2x)\text{d}x}=e^x\sin(2x)-2\int{e^x\cos(2x)\text{d}x}[/mm]
Nun löst du
[mm]\int{e^x\cos(2x)\text{d}x}=e^x\cos(2x)+2\int{e^x\sin(2x)\text{d}x}[/mm]
Einsetzen liefert
[mm]\int{e^x\sin(2x)\text{d}x}=e^x\sin(2x)-2e^x\cos(2x)-4\int{e^x\sin(2x)\text{d}x}[/mm]
Jetzt [mm]-4\int{e^x\sin(2x)\text{d}x}[/mm] auf die linke Seite bringen und durch 5 teilen liefert.
[mm]\int{e^x\sin(2x)\text{d}x}=\frac{1}{5}e^x\sin(2x)-\frac{2}{5}e^x\cos(2x)[/mm]
Das kannst du in deine Ausgangsgleichung einsetzen und erhälst
[mm]\int{e^x\sin^2(x)\text{d}x}=e^x\sin^2(x)-\frac{1}{5}e^x\sin(2x)+\frac{2}{5}e^x\cos(2x)[/mm]
Jetzt gilt [mm]\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)[/mm] und [mm]\cos(2x)=1-2\sin^2(x)[/mm]. Einsetzen bringt
[mm]\int{e^x\sin^2(x)\text{d}x}=e^x\sin^2(x)-\frac{2}{5}e^x\sin(x)\cos(x)+\frac{2}{5}e^x-\frac{4}{5}e^x\sin^2(x)[/mm]
Zusammenfassen liefert als Ergebnis
[mm]\int{e^x\sin^2(x)\text{d}x}=\frac{1}{5}e^x[\sin(x)-2\cos(x)]\sin(x)+\frac{2}{5}e^x[/mm]
Hoffe es ist nachvollziehbar für dich. Die benutzten Theoreme kanns du entweder irgendwo nachschlagen oder auch über die komplexe darstellung von cos und sin herleiten, soweit du das schon gehabt hast.
Viel Erfolg!
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Danke Rene!
Durch deine ausführliche Erklärung hab ichs jetzt verstanden! ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Gruß
Angelika
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