Integration einer e- Funktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Maggons |
| Aufgabe | Weisen Sie ohne Rechnereinsatz nach, dass
[mm] F_{d}(x)= -\bruch{1}{10}*d²*e^{-\bruch{x²}{20d}}
[/mm]
eine Stammfunktion von
[mm] f_{d}(x)=\bruch{1}{100}*d*x*e^{-\bruch{x²}{20d}}
[/mm]
ist. |
Hallo!
Ich bin leider ein CAS- user, sodass bei mir partielle Integration sowie Substitution nur irgendwo im Hinterkopf herumschwirren.
Es muss ja gelten:
[mm] \integral{f_{d}(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{100}*d*\integral{x*e^{-\bruch{x²}{20d}} dx}, [/mm] da man die Vorfaktoren einfach ausklammern kann.
Nun weiß ich aber leider nicht, wie ich das Integral von letzterem berechne.
Ich habe es mit der partiellen Integration probiert und dafür [mm] u'=e^{-\bruch{x²}{20d}} [/mm] und v=x gesetzt, damit dann im Verlauf der Rechnung x einfach zu 1 geworden wäre.
Jedoch bin ich mir nicht sicher, ob man nun einfach die e- Funktion integrieren könnte?
Leider glaube ich eher nicht.
Dann hatte ich noch die Idee, dass ich den Exponenten der e- Funktion substituiere; jedoch hatte ich auch leider damit keinen Erfolg.
Wäre sehr dankbar, falls mir jemand sagen würde wieso man welche Methode anwenden muss und wie man u und v' bzw. die Substitution wählen müsste, da ich leider auf kein vernünftiges Ergebnis komme.
Ciao, vielen Dank bereits im Voraus
Lg
Marco
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum oder dergleichen gestellt.
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Hallo Maggons,
du brauchst ja "zum Glück"  gar keine Stammfunktion von [mm] $f_d(x)$ [/mm] zu bestimmen, sondern "nur" nachzuweisen,
dass [mm] $F_d(x)$ [/mm] eine Stammfunktion von [mm] $f_d(x)$ [/mm] ist.
Also leite doch einfach [mm] $F_d(x)$ [/mm] ab und schaue, ob da wohl [mm] $f_d(x)$ [/mm] rauskommt ...
Damit wäre die Aufgabe gelöst.
Wenn du aber selber noch gerne eine Stammfunktion berechnen möchstest, ist dein 2. Ansatz mit Substitution des Exponenten richtig
[mm] $\int{\frac{1}{100}dxe^{-\frac{x^2}{20d}} \ dx}$
[/mm]
Subst. [mm] $u:=-\frac{x^2}{20d}\Rightarrow u'=\frac{du}{dx}=-\frac{x}{10d}\Rightarrow dx=-\frac{10d}{x}du$
[/mm]
Einsetzen liefert: [mm] $\int{\frac{1}{100}dxe^{-\frac{x^2}{20d}} \ dx}=\int{\frac{1}{100}dxe^{u} \left(-\frac{10d}{x}\right) \ du}=\int{-\frac{1}{10}e^{u} \ du}=.....$
[/mm]
Aber das ist wie gesagt eigentlich nicht verlangt...
LG
schachuzipus
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 13:46 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Maggons |
Oh ja ok, wieso halt einfach machen, wenns auch schwer geht ? ;)
Wunderbar, dann hab ich gleich 2 schicke Lösungswege.
Vielen Dank für deine Hilfe
Ciao, Lg
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