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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Di 13.05.2008 | | Autor: | maranai |
| Aufgabe | Sei a > 0. Berechnen Sie das folgende Integral:
[mm] \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^{2}} dx [/mm] |
Ich weiß, dass man mit Hilfe der Polarkoordinaten und (so habe ich woanders gelesen) mit Hilfe von Flächenfunktionen an die Aufgabenstellung herangehen kann. Da ich die Sache mit den Polarkoordinaten aber nur rudimentär verstanden habe, wollte ich mich um Hilfe an euch wenden.
Wie gehe ich an diese Aufgabe heran?? O.o
Zu Polarkoordinaten hab ich bisher gefunden, dass man den Radius r mit [mm] \sqrt{x^2 + y^2} [/mm] der kartesischen Koordinaten x und y berechnet, allerdings dann beim Winkel nen Haufen Fallunterscheidungen durchführen muss.
Da ich in Mathe wirklich eine große Nulpe bin, würde ich mich über jeden Ansatz sehr freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
> Sei a > 0. Berechnen Sie das folgende Integral:
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> [mm]\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^{2}} dx[/mm]
> Ich weiß, dass man
> mit Hilfe der Polarkoordinaten und (so habe ich woanders
> gelesen) mit Hilfe von Flächenfunktionen an die
> Aufgabenstellung herangehen kann. Da ich die Sache mit den
> Polarkoordinaten aber nur rudimentär verstanden habe,
> wollte ich mich um Hilfe an euch wenden.
> Wie gehe ich an diese Aufgabe heran?? O.o
ich fuerchte, um die polarkoordinaten kommst du nicht herum. eigentlich brauchst du aber nicht polarkoordinaten in ihrer allgemeinen form sondern die formel fuer integration von rotationssymmetrischen funktionen.
ganz kurz dazu:
es ist [mm] $I=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^{2}} dx=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ay^{2}} [/mm] dy$
also [mm] $I^2=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^{2}} [/mm] dx [mm] \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ay^{2}} [/mm] dy$
[mm] $=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a(x^2+y^2)} dx\;dy =\int_{\mathbb{R}^2} e^{-a|x|^2} [/mm] dx$
beim letzten schritt hat x seine bedeutung geaendert, im letzten integral ist [mm] $x\in \mathbb{R}^2$. [/mm] Sorry, ist ein wenig verwirrend, weiss im moment keine bessere notation.
Der letzte integrand haengt nur von $|x|$ ab, ist also rotationssymmetrisch. Fuer solche integrale gibt es eine schoene formel:
[mm] $\int_{\mathbb{R}^n} f(|x|)\;dx=n\kappa_n \int_{\mathbb{R}} [/mm] f(r) [mm] r^{n-1}\;dr$
[/mm]
[mm] $\kappa_n$ [/mm] ist eine konstante, das musst du nochmal nachschlagen. Lange rede, kurzer sinn: wenn du diese formel anwenden kannst, brauchst du dich nicht mit polarkoordinaten und winkeln herumzuschlagen. diese formel ist quasi eine vereinfachte polarkoordinaten-transformation.
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mi 14.05.2008 | | Autor: | maranai |
Hi,
vielen Dank erstmal für die Antwort.
Ich hätte noch 2 weitere Fragen:
(1) Wie kommt man auf die Idee [mm] $I$ [/mm] zu quadrieren? Ich seh, dass das durchaus Sinn macht, aber wenn ich mal vor so einer Aufgabe sitze, wie kommt dann einem Mathematiker in den Kopf: "Ach, quadrier ich das ganze einfach mal!" ? Welche Idee steckt dahinter?
(2) Was ist genau die Funktion [mm]$ f(r) $[/mm] in [mm] $n\kappa_n \int_{\mathbb{R}} f(r) r^{n-1}\;dr $ [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi,
>
> vielen Dank erstmal für die Antwort.
> Ich hätte noch 2 weitere Fragen:
>
> (1) Wie kommt man auf die Idee [mm]$I$[/mm] zu quadrieren? Ich seh,
> dass das durchaus Sinn macht, aber wenn ich mal vor so
> einer Aufgabe sitze, wie kommt dann einem Mathematiker in
> den Kopf: "Ach, quadrier ich das ganze einfach mal!" ?
> Welche Idee steckt dahinter?
die Idee dahinter trägt den Namen ![[]](/images/popup.gif) Satz von Fubini.
(Erstaunlich ist allerdings: Obwohl wir im [mm] $\IR$ [/mm] das Integral nicht berechnen können, jedenfalls nicht so ohne weiteres, so geht das im [mm] $\IR^2$ [/mm] doch irgendwie. Komische Sache eigentlich, dass man den Wert dieses Integrals durch einen "Sprung in eine höhere Dimension" berechnen kann...)
> (2) Was ist genau die Funktion [mm]$ f(r) $[/mm] in [mm]$n\kappa_n \int_{\mathbb{R}} f(r) r^{n-1}\;dr $[/mm]
> ?
Bei Dir ist [mm] $\int_{\IR^2}e^{-a|x|^2}dx$ [/mm] ($x [mm] \in \IR^2$) [/mm] (es wäre vll. besser: $z=(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] und dann [mm] $=\int_{\IR^2}e^{-a|z|^2}dz$ [/mm] zu schreiben, nicht, dass es Dich verwirrt, dass hier $x$ im Laufe der Rechnung von Matthias zwei Bedeutungen zugesprochen bekommt; im Prinzip schreibt er (formal schlecht): $x=(x,y)$; das ist nicht falsch, da er ja jeweils eine Integrationsvariable nur benennt, aber es kann halt schon formal ein wenig für Verwirrung sorgen), d.h. [mm] $f(r)=e^{-ar^2}$ [/mm] (setze einfach $r=|x|$ ein, dann siehst Du es).
Ich hatte jetzt nicht die Zeit, genauer reinzugucken, aber vll. hilft Dir auch das hier:
http://www.mathematik.uni-dortmund.de/lsix/uebungen/gym/ana3/material/ana3_III_13.pdf
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Mi 14.05.2008 | | Autor: | maranai |
Ah, alles klar. Vielen Dank!
Ist zwar noch ein wenig verwirrend, aber ich akzeptiert das. :)
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