Integration durch Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Mi 28.04.2010 | | Autor: | Ice-Man |
Hallo,
ich wollte das hier mal integrieren...
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{x^{2}+4} dx}
[/mm]
ich kann ja auch sagen...
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x+4} dx}
[/mm]
jetzt habe ich gesagt...
x+4=t
x=t-4
x'=1
dx=1*dt
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{t}*dt}
[/mm]
nur wenn ich das jetzt integriere, dann komm ich ja auf...
ln(t)+C
das "rücksubstituiert"
ln(x+4)+C
nur das stimmt ja nicht mit der Lösung
[mm] \bruch{1}{2}ln(x^{2}+4)+C
[/mm]
Wo habe ich meinen Fehler? Bzw. was mach ich falsch?
Vielen Dank..
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Hallo
> Hallo,
> ich wollte das hier mal integrieren...
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{x^{2}+4} dx}[/mm]
>
> ich kann ja auch sagen...
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x+4} dx}[/mm]
>
Nein, kannste nicht! Wieso kürzt du hier einfach ein x? Was passiert dann mit der 4 im Nenner?
> jetzt habe ich gesagt...
> x+4=t
> x=t-4
> x'=1
> dx=1*dt
Substituiere einfach mal t = [mm] x^{2}+4
[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{t}*dt}[/mm]
>
> nur wenn ich das jetzt integriere, dann komm ich ja auf...
>
> ln(t)+C
> das "rücksubstituiert"
> ln(x+4)+C
>
> nur das stimmt ja nicht mit der Lösung
> [mm]\bruch{1}{2}ln(x^{2}+4)+C[/mm]
>
> Wo habe ich meinen Fehler? Bzw. was mach ich falsch?
>
Siehe oben :)
> Vielen Dank..
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Mi 28.04.2010 | | Autor: | Ice-Man |
Das hat ich auch schon probiert, aber da bin ich nicht wirklich weitergekommen... ;)
Dann mach ich das hier einfach nochmal ganz langsam ;)
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{x^{2}+4} dx}
[/mm]
[mm] x^{2}+4=t
[/mm]
[mm] x=(t-4)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{dx}{dt}=\bruch{1}{2}(t-4)^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] dx=\bruch{1}{2}(t-4)^{-\bruch{1}{2}}*dt
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{t}*\bruch{1}{2}(t-4)^{-\bruch{1}{2}}*dt}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{x}{t}*(t-4)^{-\bruch{1}{2}}dt}
[/mm]
Falls das soweit stimmen sollte ;), dann weis ich jetzt nicht mehr weiter ;)...
das "t" im Nenner würd ich ja noch mit nem "ln" integriert bekommen... oder??
Aber das "x" irrietiert mich vollkommen ;)
Wie würd ich denn da jetzt weitermachen ;)???
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Hallo
> Das hat ich auch schon probiert, aber da bin ich nicht
> wirklich weitergekommen... ;)
> Dann mach ich das hier einfach nochmal ganz langsam ;)
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{x^{2}+4} dx}[/mm]
>
> [mm]x^{2}+4=t[/mm]
>
> [mm]x=(t-4)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{dx}{dt}=\bruch{1}{2}(t-4)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]dx=\bruch{1}{2}(t-4)^{-\bruch{1}{2}}*dt[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{t}*\bruch{1}{2}(t-4)^{-\bruch{1}{2}}*dt}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{x}{t}*(t-4)^{-\bruch{1}{2}}dt}[/mm]
>
Ok... warum auch immer du das so machst :D
t = [mm] x^{2} [/mm] + 4
[mm] \frac{dt}{dx} [/mm] = 2x [mm] \Rightarrow [/mm] dx = [mm] \frac{1}{2x}dt
[/mm]
Jetzt bist du wieder dran!
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Mi 28.04.2010 | | Autor: | Ice-Man |
[mm] dx=\bruch{1}{2x}dt
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{t}*\bruch{1}{2x}dt}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{x}{tx}dt}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{1}{t}dt}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*ln(t)+C
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*ln(x^{2}+4)+C
[/mm]
Das stimmt ja jetzt eigentlich..., oder? ;)
Zu deiner Frage / Feststellung...
Man hat mir gesagt, ich müsste (wenn ich substituiert habe) nach "x" auflösen...
Ist das falsch???
Bzw. wann merke ich, das ich das so machen muss, wie du mir den Tipp gegeben hast??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:38 Do 29.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wer war denn der "man" der das gesagt hat?
wenn du irgendwa durch t ersetzt, dann sollte da auch t stehen. wenn dann noch (mit dem richtigen dt ein x stehen bleibt( tut es hier nicht) nur dann musst du es natürlich durch einen Ausdruck mit t ersetzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:11 Do 29.04.2010 | | Autor: | Ice-Man |
Das war mein Dekan (Mathe-Prof.), der das gesagt hat...
Na, ich versuch das nochmal mit dem "nach x auflösen"...
Anderes Beispiel...
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{2x+3} dx}
[/mm]
Jetzt substituier ich...
2x+3=t
[mm] x=\bruch{1}{2}t-\bruch{3}{2}
[/mm]
Jetzt leite ich ab...
[mm] x'=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] dx=\bruch{1}{2}dt
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{t^{\bruch{1}{2}}*\bruch{1}{2}dt}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{}^{}{t^{\bruch{1}{2}}dt}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{2}{3}*t^{\bruch{3}{2}}+C
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}\wurzel{t^{3}}+C
[/mm]
Jetzt rücksubstituieren...
[mm] \bruch{1}{3}\wurzel{(2x+3)^{3}}+C
[/mm]
Das Ergebnis stimmt ja...
Weist du, wie ich das mein....??
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Hallo
> Das war mein Dekan (Mathe-Prof.), der das gesagt hat...
>
> Na, ich versuch das nochmal mit dem "nach x auflösen"...
>
> Anderes Beispiel...
>
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{2x+3} dx}[/mm]
>
> Jetzt substituier ich...
>
> 2x+3=t
>
> [mm]x=\bruch{1}{2}t-\bruch{3}{2}[/mm]
>
> Jetzt leite ich ab...
>
> [mm]x'=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]dx=\bruch{1}{2}dt[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{t^{\bruch{1}{2}}*\bruch{1}{2}dt}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{t^{\bruch{1}{2}}dt}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{2}{3}*t^{\bruch{3}{2}}+C[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{3}\wurzel{t^{3}}+C[/mm]
>
> Jetzt rücksubstituieren...
>
> [mm]\bruch{1}{3}\wurzel{(2x+3)^{3}}+C[/mm]
>
> Das Ergebnis stimmt ja...
> Weist du, wie ich das mein....??
>
>
Nein. Was jetzt ist genau deine Frage? ^^
Ich meine, auch beim letzten Beispiel (f(x) = [mm] \frac{x}{x^{2}+4}) [/mm] hättest du es so machen können.. dann haste gemerkt, dass du so ein x noch rumstehen hast. Du hattest aber ja den Ausdruck in t nach x aufgelöst, denn du da hättest einsetzen können.. dann wärst du auf das richtige Ergebnis gekommen.
Oder du sparst dir das nach x auflösen, da bei solch einfachen Integralen sich dann alle x meistens wegkürzen.. und sollte dies nicht der Fall sein, kannste immernoch nach der Substitution nach x auflösen und einsetzen..
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Do 29.04.2010 | | Autor: | Ice-Man |
Also könnt ich ( bzw. müsst ich) bei diesem Integral..
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{x^{2}+4} dx}
[/mm]
wenn ich dann sage....
[mm] x^{2}+4=t
[/mm]
[mm] x=(t-4)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] x'=\bruch{1}{2}(t-4)^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] dx=\bruch{1}{2}(t-4)^{-{\bruch{1}{2}}}dt
[/mm]
das dann so schreiben...
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{(t-4)^{\bruch{1}{2}}}{t}*\bruch{1}{2}(t-4)^{-\bruch{1}{2}}}dt
[/mm]
Wäre das (auch wenn sehr umständlich) auch richtig?? ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Do 29.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also könnt ich ( bzw. müsst ich) bei diesem Integral..
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{x^{2}+4} dx}[/mm]
>
> wenn ich dann sage....
>
> [mm]x^{2}+4=t[/mm]
>
> [mm]x=(t-4)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]x'=\bruch{1}{2}(t-4)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]dx=\bruch{1}{2}(t-4)^{-{\bruch{1}{2}}}dt[/mm]
Es folgt: [mm]dx=\bruch{1}{2}(t-4)^{-{\bruch{1}{2}}}dt=\bruch{1}{2x}[/mm]
somit: $xdx= [mm] \bruch{1}{2}dt$
[/mm]
>
> das dann so schreiben...
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{(t-4)^{\bruch{1}{2}}}{t}*\bruch{1}{2}(t-4)^{-\bruch{1}{2}}}dt[/mm]
Jetzt noch kürzen. ...und Du erhälst ?
FRED
>
> Wäre das (auch wenn sehr umständlich) auch richtig?? ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Do 29.04.2010 | | Autor: | Ice-Man |
Mal ne Zwischenfrage... ;)
Wie kommst du auf [mm] \bruch{1}{2x} [/mm] ;)???
Das versteh ich nicht...
Aber mal sehen, ob ich das verstanden habe... ;)
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{(t-4)^{\bruch{1}{2}}}{t}*\bruch{1}{2}(t-4)^{-\bruch{1}{2}}d}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{(t-4)^{\bruch{1}{2}}*(t-4)^{-\bruch{1}{2}}}{t} dx}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{1}{t} dt}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Do 29.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ice-Man!
Es gilt:
[mm] $$\bruch{1}{2}*(t-4)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2*(t-4)^{\bruch{1}{2}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{t-4}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Do 29.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Es war
$ [mm] dx=\bruch{1}{2}(t-4)^{-{\bruch{1}{2}}}dt [/mm] $
und
[mm] $x=(t-4)^{{\bruch{1}{2}}}$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Do 29.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ice-Man!
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{(t-4)^{\bruch{1}{2}}}{t}*\bruch{1}{2}(t-4)^{-\bruch{1}{2}}}dt[/mm]
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> Wäre das (auch wenn sehr umständlich) auch richtig?? ;)
Du hast Recht: das ist sehr umständlich, führt aber auch zum Ziel.
Fasse nun innerhalb des Integrals zusammen ...
Gruß
Loddar
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