Integration durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Vicky89 |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{1}{x*sin(x²) dx} [/mm] |
Habe mittlerweile so ungefähr das Prinzip der Integration durch SUbstitution verstanden. Nun habe ich ein paar Aufgaben durchgerechnet, bei der komme ich allerdings nicht weiter.
Kann mir jemand erklären, wie diese Aufgabe geht?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Vicky!
Bei diesem Integral führt die Substitution $z \ := \ [mm] x^2$ [/mm] zum Ziel. Denn dadurch verschwindet sehr schnell der Faktor $x_$ vor dem Sinus.
Und das Integral [mm] $\integral_0^1{\bruch{1}{2}*\sin(z) \ dz}$ [/mm] sollte doch machbar sein, oder? 
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Vicky89 |
aber weiso wird das x dann zu [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ??
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Hallo Vicky!
> aber weiso wird das x dann zu [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ??
Das x wird nicht zu [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Durch die Substitution von [mm] z=x^{2} [/mm] ergibt sich [mm] \bruch{dz}{dx}=2x. [/mm] Wenn du nun nach der Integrationsvariablen dx umstellst erhälst du [mm] dx=\bruch{1}{2x}dz. [/mm] Letztendlich muss du den ganzen "Spaß" nur noch einsetzen un erhälst:
[mm] \integral_{0}^{1}{x*sin(x^{2}) dx}=\integral_{0}^{1}{x*sin(z)*\bruch{1}{2x} dz}
[/mm]
Die x kürzen sich raus und übrig bleibt das von dir erwähnte Integral.
Gruß,
Tommy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Vicky89 |
hallo,
erstmal danke für eure antworten.
aber ganz ehrlich, ich verstehs immernoch nicht...
hab eben extra nochmal in mein amthebuch geguckt, aber ich weiß nicht, woher aufeinmal dieses dz durch dx kommt? in meinem buch hab ich das noch nicht gesehen?! vllt steh ich grad auch einfach nur aufm schlauch, aber irgendwie blicke ich nicht wirklich durch....
lg
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> hallo,
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> erstmal danke für eure antworten.
> aber ganz ehrlich, ich verstehs immernoch nicht...
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> hab eben extra nochmal in mein amthebuch geguckt, aber ich
> weiß nicht, woher aufeinmal dieses dz durch dx kommt? in
> meinem buch hab ich das noch nicht gesehen?! vllt steh ich
> grad auch einfach nur aufm schlauch, aber irgendwie blicke
> ich nicht wirklich durch....
>
> lg
>
[mm] $\bffamily \text{Hi,}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Es gibt mehrere Wege, die aber letztendlich dasselbe zum Ziel haben; das Integral der Form}$
[/mm]
[mm] $$\bffamily \int\limits^{b}_{a}g'(x)*f(g(x))\,\mathrm{d}x$$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{auf die Form}$
[/mm]
[mm] $$\bffamily \int\limits^{b}_{a}f(z)\,\mathrm{d}{z}$$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{zu bringen, also das Produkt derart zu bearbeiten, dass die innere Ableitung letztendlich ein Faktor ist.}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Hier wäre dann folgendes zu tun.}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Du siehst, dass die innere Ableitung hier }2x\text{ ist. Der Faktor ist aber lediglich }x\text{. Also im Integral}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{mit 2 multiplizieren, damit sich aber nichts ändert, vor dem Integral das Reziproke als konstanten Vorfaktor}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{schreiben, in deinem Falle }\bruch{1}{2}\text{.}$
[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Gruß, Stefan.}$
[/mm]
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Hallo Vicky,
eine Anmerkung noch vielleicht.
Die Substitution [mm] z=x^2 [/mm] ist nicht ganz "sauber", weil du in der neuen Variable die alte noch mit drin hast [mm] (dx=\bruch{dz}{2x}) [/mm] . Das will man ja eigentlich mit der Substitution vermeiden.
Das x kürzt sich zwar beim Einsetzen direkt raus, ist aber dennoch nicht so schön.
Nimmst du stattdessen die Substitution [mm] x=z^2, [/mm] also [mm] z=\pm\wurzel{x}, [/mm] so ist [mm] dx=\pm\bruch{dz}{2\wurzel{z}}, [/mm] also nur noch eine Variable drin.
Welche der Varianten (+ oder - du nimmst) ist egal, kommt auf's selbe raus.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Vicky89 |
>weil du in
> der neuen Variable die alte noch mit drin hast
> [mm](dx=\bruch{dz}{2x})[/mm]
da ist es schon wieder... ich weiß nicht wie man auf dieses [mm] \bruch{dx}{dz} [/mm] kommen soll....
und zu dem beitrag davor:
dass ich da noch ne zwei mit reinbringen muss versteh ich auch noch... das heißt, ich würde es versstehen, wenn da nichts mit sinus drin vorkäme.... was mach ich denn dann mit dem sinus?!
tut mir leid, bin aber ziemlich erkältet und müde, vielleicht liegt es auch daran, dass ich mich nicht richtig konzentrieren kann...
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Hallo nochmal Vicky,
also die Substitution war ja [mm] z=x^2
[/mm]
Dann ist ja [mm] z'=\bruch{dz}{dx} [/mm] die Ableitung von z nach x
[mm] =\left(x^2\right)'=2x
[/mm]
Also [mm] \bruch{dz}{dx}=2x \Rightarrow dz=2x\cdot{}dx \Rightarrow dx=\bruch{dz}{2x}
[/mm]
ok soweit?
So diese "Angaben" setzt du nun für x und für dx in das Integral ein, also
[mm] \integral{x\cdot{}sin(x²) dx}=\integral{x\cdot{}sin(\red{z}) \red{\bruch{dx}{2x}}} [/mm] Die neu eingesetzten Sachen sind rot, das x am Anfang wird gelassen
[mm] =\red{\bruch{1}{2}}\integral{sin(\red{z}) \red{dz}} [/mm] die beiden x kürzen sich raus, die [mm] \bruch{1}{2} [/mm] kann man vor das Integral ziehen,
Also bleibt zu lösen [mm] \bruch{1}{2}\integral{sin(z)dz}=\bruch{1}{2}\left[-cos(z)\right], [/mm] denn -cos(z)'=sin(z)
Nun rücksubstituieren: (es war [mm] z=x^2)
[/mm]
Also [mm] \bruch{1}{2}\left[-cos(z)\right]=\bruch{1}{2}\left[-cos(x^2)\right]
[/mm]
Nun die Grenzen einsetzen: [mm] \bruch{1}{2}\left[-cos(z)\right]^1_0
[/mm]
Dann noch einsetzen und ausrechen
Hoffe, das war verständlich erklärt
PS: Wenn du die andere Substitution [mm] (x=z^2) [/mm] wählst, kommst du nicht in die "Verdrückung", einige Variablen im Integral zu ersetzen und andere nicht, da ersetzt du alle Kannste ja bei Gelegenheit mal ausprobieren
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Vicky89 |
danke noc´hmal für eure großen bemühungen mir das zu erklären...
ich sollte mir das vielleicht einfach nochmal durchlesen, wenn ich nicht so müde und wieder gesund bin, denke das bringt mehr. schreibe zwar morgen die arbeit, aber ich bin ja aucher selber dran schuld, wenn ich wieder mal so spät anfange zu lernen ;)
mein problem ist einfach, dass ich nicht weiß, wie man auf [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] kommt.
das z'=2x ist, wenn z=x² ist, ist ja natürlich. nur erkenne ich den zusammenhang zwischen [mm] z'=\bruch{dz}{dx} [/mm] nicht.
ich kann mich nicht dran erinnern, dass ich das mal im unterricht gesehen hab.. vllt war ich da auch nicht da ;) aber das verwirrt mich im moment einfach total.
trotzdem nochmal ein großes dankeschön =)
lg
Vicky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Di 13.03.2007 | | Autor: | Daox |
Hi,
also [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] heißt ja nichts anderes, als dass du die Funktion z nach x ableitest. dz und dx sind Differentiale, also sehr kleine Zahlen.
Du kennst bestimmt das Differenzenquotient. [mm] \bruch{\Delta z}{\Delta x}.
[/mm]
Dies stellt eine Sekante dar und ist sozusagen das Steigungsdreieck an einer bestimmte Stelle oder die durchschnittliche Steigung. Da nimmst du die Differenz von zwei z-Werten und teilst sie durch die Differenz der entsprechenden x-Werte.
Beim Differentialquotienten wird der Abstand der z- und x-Werte unendlich klein, sodass man statt einer Sekante eine Tangente bekommst, also eine Gerade, die den Graphen nur in einem Punkt berührt (oder in allen, falls es eine Gerade ist)
Der Abstand der jeweiligen Werte im Steigungsdreieck wird also unendlich klein:
[mm] \limes_{x_0\rightarrow0}(\bruch{z(x)-z(x_o)}{x-x_0}) [/mm] = [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = z' = Ableitung
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