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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Do 01.03.2007 | | Autor: | RedWing |
Hallo,
ich habe ein Problem mit folgendem bestimmten Integral:
[mm] \integral_{3}^{4}{1/ \wurzel{25-x^2} dx}
[/mm]
Und zwar habe ich es mit Hilfe von Substitution versucht, bekomme aber nie die Summe in der Wurzel weg, da ja die Ableitung von [mm] 25-x^2 [/mm] 2x wäre.
Ich hoffe mir kann jdm helfen, für Hilfe wäre ich sehr dankbar.
MfG RedWing
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Do 01.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
wegen 1-sin^2x=cos^2x denkt man bei sowas direkt an sin oder cos: Substitution: x=5*sinu: dx=5cosu du
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Fr 02.03.2007 | | Autor: | RedWing |
Dabke für deine Hilfe, aber so richtig verstehe ich immer noch nicht, wie du darauf gekommen bist und wie man nun weiterechnen soll?
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> Dabke für deine Hilfe, aber so richtig verstehe ich immer
> noch nicht, wie du darauf gekommen bist
Hallo,
darauf kommen tut man, wie leduart bereits sagte, weil man weiß daß 1-sin^2x=cos^2x - und weil man es schon oft gemacht hat.
>und wie man nun
> weiterechnen soll?
Auch das hat Dir leduard gezeigt:
Setze x=5sinu
dann ist dx=5cosu.
Nun ersetzt Du im Integral das x durch 5sinu und das dx durch 5cosu.
Klappt's? Sonst: zeig mal!
Gruß . angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Fr 02.03.2007 | | Autor: | RedWing |
Hm ja aber dadurch komme ich doch auch nicht weiter, wenn ich das jetzt so einsetze wie du gesagt hast, dann steht da:
[mm] \integral_{3}^{4}{5*cos(u) / \wurzel{25-(25*sin²(u)} }
[/mm]
So, aber das hilft mir doch jetzt auch nicht weiter oder hab ich was falsch gemacht?
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> Hm ja aber dadurch komme ich doch auch nicht weiter, wenn
> ich das jetzt so einsetze wie du gesagt hast, dann steht
> da:
>
> [mm]\integral_{3}^{4}{5*cos(u) / \wurzel{25-25*sin^2(u)} }[/mm]
>
> So, aber das hilft mir doch jetzt auch nicht weiter oder
> hab ich was falsch gemacht?
Das wird Dir gleich helfen, Du hst das richtig eingesetzt.
Eine Sache noch:
wenn Du substituierst, verändern sich natürlich die Integrationsgrenzen.
Wir hatten x=5 sinu ==> u=arcsin [mm] \bruch{x}{5}.
[/mm]
Nun müssen ja die neuen Grenzen zur neuen Variablen u passen.
Untergrenze=arcsin [mm] \bruch{3}{5}
[/mm]
Obergrenze=arcsin [mm] \bruch{4}{5}
[/mm]
Also heißt es richtig
[mm] \integral_{arcsin \bruch{3}{5}}^{arcsin \bruch{4}{5}}{5*cos(u) / \wurzel{25-25*sin^2(u)} }
[/mm]
[mm] =\integral_{arcsin \bruch{3}{5}}^{arcsin \bruch{4}{5}}{5*cos(u) / \wurzel{25(1-sin^2(u)}) }
[/mm]
Was weißt Du über [mm] (1-sin^2(u))? [/mm] Einsetzen. Weitermachen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Fr 02.03.2007 | | Autor: | RedWing |
ah ok jetzt seh ichs. ;)
Also wenn ich dann weiterrechne, dann erhält man doch [mm] \wurzel{25} [/mm] * [mm] \wurzel{cos^2(u)} [/mm] im Nenner.
So nun kann man kürzen, wenn ich dann bis zum Schluss rechne bekomme ich sin(u) als Stammfunktion?
Ist das jetzt richtig?
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Hallo RedWing,
das passt nicht
mit der angegebenen Substitution lässt sich dein Integral [mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{25-x^2}}dx} [/mm] umschreiben zu
[mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{25-25sin^2(u)}}\cdot{}5cos(u)du}=\integral{\bruch{5cos(u)}{\wurzel{25(1-sin^2(u))}}du}=\integral{\bruch{5cos(u)}{\wurzel{25cos^2(u)}}du}=\inegral{1du}=u=arcsin\left(\bruch{x}{5}\right) [/mm] [Rücksubstitution: [mm] x=5sin(u)\Rightarrow \bruch{x}{5}=sin(u)\Rightarrow u=arcsin\left(\bruch{x}{5}\right)
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
wenn Du die Grenzen verändert hast, also die ganze Zeit mit bestimmten Integralen gerechnet, brauchst Du natürlich keine Rücksubstitution:
> $ [mm] \integral_{3}^{4}{5\cdot{}cos(u) / \wurzel{25-25\cdot{}sin^2(u)} } [/mm] $
> =...
$ [mm] =\integral_{arcsin \bruch{3}{5}}^{arcsin \bruch{4}{5}}{1du } [/mm] $
[mm] =x|_{arcsin \bruch{3}{5}}^{arcsin \bruch{4}{5}}
[/mm]
Gruß v. Angela
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