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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Fr 08.09.2006 | | Autor: | Dignitas |
| Aufgabe | Lösen sie folgendes Integral
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1+e^{-x}}}dx [/mm] |
Hallo Rechenkünstler
Die obengenannte Aufgabe habe ich versucht durch Substitution [mm] z=1+e^{-x} [/mm]
[mm] \integral_{}^{}{-\bruch{1}{z}*(-\bruch{1}{z+1})}dz=-\integral_{}^{}{\bruch{1}{z^2-z}}dz
[/mm]
und anschliessende Partialbruchzerlegung [mm] \bruch{A}{z+0.5}+\bruch{B}{z-0.5} [/mm] zu lösen. Was bei mir folgendes Ergebnis für A=-1 B=1 lieferte:
[mm] \ln(z+0.5)-ln(z-0.5)+C
[/mm]
Geplottet sieht das aber gar nicht nach der gesuchten Stammfunktion aus.
Wer weiß rat? Im Voraus schonmal ein Dank an alle die sich mit meiner Frage beschäftigen.
Ich habe diese Frage auf keinen anderen Foren auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
also deine Substitution scheint mir im Ergebnis richtig zu sein (auch wenn du im Schritt davor anscheinend nen "-" zuviel hast), nur deine Partialbruchzerlegung kann ich nicht so ganz nachvollziehen.
[mm]\bruch{-1}{z+0.5}+\bruch{1}{z-0.5}[/mm]
= [mm] \bruch{-z+0.5}{(z+0.5)(z-0.5)} [/mm] + [mm] \bruch{z+0.5}{(z+0.5)(z-0.5)} [/mm]
= [mm] \bruch{-z+0.5 + z+0.5}{(z+0.5)(z-0.5)}[/mm]
= [mm] \bruch{1}{z^2 - 0.25} [/mm]
[mm] \not= \bruch{1}{z^2-z} [/mm] (was ja rauskommen sollte)
Da würde ich nochmal gucken, dann kommst wahrscheinlich auch aufs richtige Ergebnis 
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Fr 08.09.2006 | | Autor: | Dignitas |
Danke :) Ich schau dann nochmal drüber :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Fr 08.09.2006 | | Autor: | Gonozal_IX |
So als Tip: [mm] \bruch{1}{z(z-1)} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{z} [/mm] + [mm] \bruch{1}{z-1} [/mm] damit gehts dann recht fix (habs mal durchgerechnet).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 Fr 08.09.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Dignitas und Gonzal,
aber mit meinem Vorschlag geht's noch schneller und das Ergebnis hat auf Anhieb "optimale Form"!
mfG!
Zwerglein
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Hi, Würde,
> Lösen sie folgendes Integral
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+e^{-x}}}dx[/mm]
Also: Ich würde zuerst mal mit [mm] e^{x} [/mm] erweitern:
[mm] \integral{\bruch{e^{x}}{e^{x}+1} dx} [/mm] = (***)
Wenn Du nun [mm] z=e^{x} [/mm] + 1 substituierst,
erhältst Du ja
dz = [mm] e^{x}dx
[/mm]
und daher:
(***) = [mm] \integral{\bruch{1}{z} dz}
[/mm]
Der Rest ist dann einfach!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Fr 08.09.2006 | | Autor: | Dignitas |
Vielen Dank. Interessante Lösung :)
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