Integration der Gaußfunktion < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben sei die Wellenfunktion [mm] F(x)=C*x*e^{\frac{-x^2}{2*a^2}}. [/mm] Bestimme die Konstante C. |
Hallo erstmal!
Der Betreff ist vielleicht etwas seltsam, aber das Integral ist im Endeffekt ein Artverwandter der Gaußfunktion.
Man sollte vornweg nehmen, dass die Aufgabe aus der Quantenmechanik kommt. Somit gilt, dass [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{F(x)*F^*(x) dx}=1 [/mm] ist. Dabei ist F^*(x) das kojugiert komplexe von F(x), in diesem Fall also wieder F(x).
Es ergibt sich somit die Frage, für welches C die Gleichung [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{C^2*x^2*e^{\frac{-x^2}{a^2}} dx}=1 [/mm] gilt.
Wenn man denn ein Ergebnis heraus hat, so stellt sich mir auch noch die Frage der Überprüfbarkeit. Also wie ist die Umkehrung eines bestimmten Integrals?
Vielen Dank im Vorraus,
Roland.
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Hallo roland,
ich würde zunächst einmal mit einem unbestimmten integral, zb. von $-t$ bis $t$, rechnen, und dann im richtigen moment zum grenzwert übergehen.
Als ich das integral gesehen habe, habe ich spontan an partielle integration gedacht, hast du das mal versucht? Wenn ich das richtig sehe, kommst du dann in der tat auf das integral der gaußfunktion. dieses kannst du irgendwo nachschlagen oder selber berechnen....
Solange du mit unbestimmten integralen arbeitest, machst du die probe einfach durch ableiten, bei bestimmten mußt du wohl deiner rechenkunst vertrauen.... 
VG
Matthias
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Vielen Dank für die Antwort.
Auf die Idee partiell zu integrieren kam ich auch schon, also aus [mm] \integral_{}^{}{u*v' dx}=u*v-\integral{u'*v dx}
[/mm]
zu machen. Das müsste man ja nur zweimal durchführen und hätte somit das [mm] x^2 [/mm] elliminiert. Dummerweise existiert das unbestimmte Integral der Gaußfunktion nicht - zumindest ist mir kein geschlossener Ausdruck bekannt.
Nun hab ich aber ein wenig in meinen Aufzeichnungen gesucht und eine Idee für einen Ansatz gefunden:
[mm] \frac{\partial}{\partial \alpha} e^{-\frac{x^2}{a^2}*\alpha}=-\frac{x^2}{a^2}*e^{-\frac{x^2}{a^2}*\alpha}
[/mm]
integriert:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{-a^2\frac{\partial}{\partial \alpha}*e^{-\frac{x^2}{a^2}*\alpha} dx|_{\alpha=1}} [/mm] = [mm] -a^2\frac{\partial}{\partial \alpha}*\sqrt{\frac{\pi*a^2}{\alpha}}=\frac{1}{2}a^3*\sqrt{\pi}
[/mm]
C aus der oben gestellten Aufgabe wäre somit [mm] \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{2}a^3*\sqrt{\pi}}}
[/mm]
Zur Erinnerung:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-\frac{x^2}{\sigma^2}*\alpha}dx}=\frac{\sqrt{2\pi \sigma^2}}{\sqrt{\alpha}}
[/mm]
Mit ein paar Tricks scheint man also ein Ergebnis erhalten zu können, aber wie lässt sich das überprüfen?
Aber vielleicht könnt ihr mir auch so sagen, ob mit dem Ansatz was nicht stimmt.
Mit freundlichen Grüßen,
Roland.
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo roland,
ohne das jetzt genau nachzurechnen, sieht doch dein ansatz ganz gut aus!
Die partielle integration hatte ich mir eher so vorgestellt:
$ \integral_{-\infty}^{\infty}{C^2\cdot{}x^2\cdot{}e^{\frac{-x^2}{a^2}} dx}= \integral_{-\infty}^{\infty}{C^2 \cdot -0,5a^2 x \cdot{} \frac{-2x}{a^2} \cdot{}e^{\frac{-x^2}{a^2}} dx}$
$=\left{C^2 \cdot -0,5a^2 x \cdot{} e^{\frac{-x^2}{a^2}} \right|_{-\infty}^{\infty}}+ \int_{-\infty}^{\infty}{0,5a^2 C^2 \cdot{}e^{\frac{-x^2}{a^2}} dx}$
Der Randterm fällt weg, beim zweiten kannst du deine Formel für das gaußintegral einsetzen. Wenn das gleiche rauskommt wie bei deinem ansatz, wird das ergebnis wohl stimmen...
VG
Matthias
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hab erstmal Dank!
Bevor ich allerdings ein Ergebnis ausrechne, wollte ich gern wissen, was du eigentlich gemacht hast. Partielle Integration kenne ich nur nach der Formel
$\integral{uv'\mathrm{d}x}=u*v - \integral{u'v\mathrm{d}x$.
Was ist bei dir $u$ und was $v$?
Vielleicht kannst du mir nochmal helfen.
Vielen Dank im Vorraus,
Roland.
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Hallo,
also [mm] $u'=\frac{-2x}{a^2} \cdot{}e^{\frac{-x^2}{a^2}}$, [/mm] v ist dann der Rest. Ich habe einfach den [mm] $x^2$-Term [/mm] so umgeformt, dass man den $u'$-Term elementar integrieren kann.
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 So 23.04.2006 | | Autor: | pi-roland |
Herzlichen Dank!
Beide Lösungswege führen zum gleichen Ergebnis. Das beruhigt schon mal.
Schönen Sonntag noch,
Roland.
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