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Integration coshx: Aufgabe

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	19:26 So 11.03.2007
Autor:	Raingirl87

Aufgabe

 Berechnen Sie das bestimmte Integral 

[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{coshx + 2} dx} [/mm]

Hallo!
Ich habe nun schon einige Substitutionen für coshx ausprobiert aber komme leider auf keine Lösung. :(
Hab z.B. einfach coshx=t gesetzt aber das bringt nix und dann hab ich x=arccoshx probiert aber das klappt irgendwie auch nicht. :(
Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
Wär echt super!
Danke!
Lg, Raingirl87

Bezug

Integration coshx: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	20:25 So 11.03.2007
Autor:	schachuzipus

Hallo Raingilrl,

das ist ja mal ein Hammerintegral ;-)

Ich hab's mit einiger Mühe und 2 Substitutionen auf die Form [mm] \integral{\bruch{1}{1-z^2}dz} [/mm] gebracht. Und das steht in der Formelsammlung als [mm] \bruch{1}{2}ln\left|\bruch{1+z}{1-z}\right| [/mm]

Also:

[mm] cosh(x)=\bruch{e^x+e^{-x}}{2} \Rightarrow \bruch{1}{cosh(x)+2}=\bruch{2}{e^x+e^{-x}+4} [/mm]

Damit ist [mm] \integral{\bruch{1}{cosh(x)+2}dx}=2\integral{\bruch{1}{e^x+e^{-x}+4}dx} [/mm]

erste Substitution: x:=ln(u) [mm] \Rightarrow \bruch{dx}{du}=\bruch{1}{u} \Rightarrow dx=\bruch{du}{u} [/mm]

Damit ist [mm] 2\integral{\bruch{1}{e^x+e^{-x}+4}dx}=2\integral{\bruch{1}{u+\bruch{1}{u}+4}\bruch{du}{u}}=2\integral{\bruch{udu}{(u^2+4u+1)u}du}=2\integral{\bruch{1}{u^2+4u+1}du} [/mm]

[mm] =2\integral{\bruch{1}{(u+2)^2-3}du}=-2\integral{\bruch{1}{3-(u+2)^2}du}=-2\integral{\bruch{1}{3\left[1-\left(\bruch{u+2}{\wurzel{3}}\right)^2\right]}du} [/mm]

[mm] =-\bruch{2}{3}\integral{\bruch{1}{1-\left(\bruch{u+2}{\wurzel{3}}\right)^2}du} [/mm]

Nun die 2. Substitution: [mm] z:=\bruch{u+2}{\wurzel{3}} \Rightarrow \bruch{dz}{du}=\bruch{1}{\wurzel{3}} \Rightarrow du=\wurzel{3}dz [/mm]

Also [mm] -\bruch{2}{3}\integral{\bruch{1}{1-\left(\bruch{u+2}{\wurzel{3}}\right)^2}du}=-\bruch{2}{3}\integral{\bruch{1}{1-z^2}\wurzel{3}dz}=-\bruch{2}{\wurzel{3}}\integral{\bruch{1}{1-z^2}dz}=-\bruch{2}{\wurzel{3}}\bruch{1}{2}ln\left|\bruch{1+z}{1-z}\right|=-\bruch{1}{\wurzel{3}}ln\left|\bruch{1+z}{1-z}\right| [/mm]

Das Rücksubstituieren überlasse ich dir

Alles ist ohne Gewähr und sieht sehr danach aus, als müsse es eine einfachere Lösung geben.

Vielleicht weiß jemand anderes ja eine ;-)

Gruß

schachuzipus