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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 So 23.01.2011 | | Autor: | qhalinaq |
| Aufgabe | Sei r>0, [mm] M:=S_r^{2}={(x,y,z)\in \IR^{3}| x^{2}+y^{2}+z^{2}= r^{2}}
[/mm]
[mm] f(x,y,z):=x^{2}y{2}
[/mm]
Berechne [mm] \integral_{M}{f d\lambda_M}. [/mm] |
Ich habe u(z)= [mm] \wurzel{r^{2}- z^{2}} [/mm] gesetzt, sodass M={(x,y,z)| [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] = [mm] u(z)^{2}}.
[/mm]
Außerdem parametrisiere ich M:
[mm] F:(-r,r)\times [-\pi,\pi]\to \IR^{3}]
[/mm]
[mm] F(z,\gamma)=(u(z)cos\gamma,u(z)sin\gamma,z) [/mm]
[mm] \Rightarrow F'(z,\gamma)= \pmat{ u'(z)cos\gamma & -u(z)sin\gamma \\ u'(z)sin\gamma & u(z)cos\gamma \\ 1 & 0 } [/mm]
Die Normen der Spalten sind [mm] \wurzel{r'(z)^{2}+ 1} [/mm] und r(z).
Dann müsste nach unserer Vorlesung [mm] \integral_M{f(x)d\lambda_{M}}= \integral_I{\integral_a^b {f(F(z,\gamma))\wurzel{det\pmat{1+ u'(z)^{2} & 0 \\ 0 & u(z)^{2}}}d\gamma}dz} [/mm] = [mm] \integral_I{\integral_{a}^{b}{f(F(z,\gamma))|z|\wurzel{r^{2}- z^{2}}d\gamma}dz} [/mm] = [mm] \integral_I{\integral_a^b{r(z)^{4}cos^{2}\gamma sin^{2}\gamma |z|\wurzel{r^{2}- z^{2}}d\gamma}dz} [/mm]
mit I=(-r,r), a= [mm] -\pi [/mm] , b= [mm] \pi [/mm] sein.
Doch wenn ich das integriere kommt bei mir null raus.
Oder stimmt das vielleicht sogar, weil f ja in den [mm] \IR [/mm] abbildet und das bzgl [mm] \lambda_{M} [/mm] null ist?
Außerdem habe ich nicht so ganz verstanden, was das Ganze mit Mannigfaltigkeiten zu tun hat.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=443337]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:06 Mo 24.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei r>0, [mm]M:=S_r^{2}=\{(x,y,z)\in \IR^{3}| x^{2}+y^{2}+z^{2}= r^{2}\}[/mm]
>
> [mm]f(x,y,z):=x^{2}y{2}[/mm]
> Berechne [mm]\integral_{M}{f d\lambda_M}.[/mm]
>
> Ich habe u(z)= [mm]\wurzel{r^{2}- z^{2}}[/mm] gesetzt, sodass
> [mm]M=\{(x,y,z) \mid x^{2} + y^{2} = u(z)^{2}\}.[/mm]
> Außerdem parametrisiere ich M:
> [mm]F:(-r,r)\times [-\pi,\pi]\to \IR^{3}][/mm]
>
> [mm]F(z,\gamma)=(u(z)cos\gamma,u(z)sin\gamma,z)[/mm]
Das ist schon richtig, aber unnötig kompliziert. Es ist viel einfacher, Kugel- statt Zylinderkoordinaten für die Parametrisierung der Kugeloberfläche zu nehmen:
[mm] F(\theta,\phi) = (r\sin\theta\cos\phi,r\sin\theta\sin\phi, r\cos\theta) [/mm]
> [mm]F(z,\gamma)=(u(z)cos\gamma,u(z)sin\gamma,z)[/mm]
> [mm]\Rightarrow F'(z,\gamma)= \pmat{ u'(z)cos\gamma & -u(z)sin\gamma \\ u'(z)sin\gamma & u(z)cos\gamma \\ 1 & 0 }[/mm]
> Die Normen der Spalten sind [mm]\wurzel{r'(z)^{2}+ 1}[/mm] und
> r(z).
> Dann müsste nach unserer Vorlesung
> [mm]\integral_M{f(x)d\lambda_{M}}= \integral_I{\integral_a^b {f(F(z,\gamma))\wurzel{det\pmat{1+ u'(z)^{2} & 0 \\ 0 & u(z)^{2}}}d\gamma}dz}[/mm]
> =
> [mm]\integral_I{\integral_{a}^{b}{f(F(z,\gamma))|z|\wurzel{r^{2}- z^{2}}d\gamma}dz}[/mm]
Das stimmt nicht, denn
[mm] \det\pmat{1+ u'(z)^{2} & 0 \\ 0 & u(z)^{2}} = \left(1+\bruch{z^2}{u(z)^2}\right) u(z)^2} = r^2 [/mm]
> = [mm]\integral_I{\integral_a^b{r(z)^{4}cos^{2}\gamma sin^{2}\gamma |z|\wurzel{r^{2}- z^{2}}d\gamma}dz}[/mm]
> mit I=(-r,r), a= [mm]-\pi[/mm] , b= [mm]\pi[/mm] sein.
Also:
[mm] \integral_{-r}^{+r} \integral_{-\pi}^{+\pi} (r^2-z^2)^2 \cos^{2}\gamma \sin^{2}\gamma r d\gamma\dz [/mm] .
Der Integrand ist eine gerade Funktion von [mm] $\gamma$, [/mm] also kommt 0 heraus.
>
> Doch wenn ich das integriere kommt bei mir null raus.
Null ist richtig. Der Integrand ist eine gerade Funktion von [mm] $\gamma$, [/mm] also kommt schon bei der Integration über [mm] $\gamma$ [/mm] 0 heraus.
> Außerdem habe ich nicht so ganz verstanden, was das Ganze
> mit Mannigfaltigkeiten zu tun hat.
M ist eine 2-dim. Untermannigfaltigkeit des [mm] $\IR^3$. [/mm] f wird also über eine Mannigfaltigkeit integriert.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:35 So 30.01.2011 | | Autor: | qhalinaq |
Vielen Dank für die Hilfe! Habs noch rausbekommen.
lg
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