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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Fr 12.06.2009 | | Autor: | csak1162 |
Integration durch Rückführung auf rationale Integranden
Es seien a, b, c [mm] \in \IR, [/mm] 4ac - b² [mm] \not= [/mm] 0, n in N und R eine rationale Funktion ihrer Argumente. Die folgenden Integrale lassen sich auf INtegrale rationaler FUnktionen zurückführen:
a) [mm] \integral_{}^{}{R(x, ^{n}\wurzel{ax + b}) dx}
[/mm]
......
okay, ich verstehe einfach nicht was das heißt!!!
das R was ist das, wie muss ich das verstehen??? und das in der Klammer???
danke lg
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Hallo csak1162,
> Integration durch Rückführung auf rationale Integranden
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> Es seien a, b, c [mm]\in \IR,[/mm] 4ac - b² [mm]\not=[/mm] 0, n in N und R
> eine rationale Funktion ihrer Argumente. Die folgenden
> Integrale lassen sich auf INtegrale rationaler FUnktionen
> zurückführen:
>
> a) [mm]\integral_{}^{}{R(x, ^{n}\wurzel{ax + b}) dx}[/mm]
>
> ......
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> okay, ich verstehe einfach nicht was das heißt!!!
>
> das R was ist das, wie muss ich das verstehen??? und das in
> der Klammer???
R ist, laut Aufgabe, eine Funktion ihrer Argumente,
d.h. von x und [mm]\wurzel[n]{ax+b}[/mm].
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> danke lg
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Sa 20.06.2009 | | Autor: | csak1162 |
was bedeutet eine FUnktion ihrer Argumente?? heißt das x durch ext $ [mm] \wurzel[n]{ax+b} [/mm] $ kA ????
ich weiß nicht wie ich mir das vorstellen soll, was das ist???
gibt es ein leichtes anschauliches Beispiel dazu??
danke lg
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> was bedeutet eine Funktion ihrer Argumente??
Die "Argumente" einer Funktion sind ihre Input-Variablen.
So hat die Funktion f(x) das Argument x oder die
Funktion R(x,y) die Argumente x und y.
Eine rationale Funktion ist entweder ganzrational, d.h.
eine Polynomfunktion, oder gebrochen-rational, d.h.
ein Quotient aus Polynomen.
Beispiele:
[mm] f:x\mapsto x^3-5x+3 [/mm] ganzrational, 1 Argument
[mm] f:x\mapsto\bruch{x^3-5x+3}{x^2+2} [/mm] gebrochen-rational, 1 Argument
[mm] f:(x,y)\mapsto x^2y-5xy^2-4x+2 [/mm] ganzrational, 2 Argumente
[mm] f:(x,y)\mapsto x^3-xy^2+\bruch{1}{x-\bruch{y^2-1}{x}} [/mm] gebrochen rational, 2 Argumente
Eine rationale Funktion R(x,y) , angewandt auf die
Argumente x und [mm] y(x)=\wurzel[n]{ax+b} [/mm] könnte also
beispielsweise sein:
[mm] F(x)=R(x,y(x))=R(x,\wurzel[n]{ax+b})=x^2-2*x*\wurzel[n]{ax+b}+\bruch{x-\wurzel[n]{ax+b}}{1+(\wurzel[n]{ax+b})^3}
[/mm]
Zu beachten ist nun aber, dass die entstandene
Funktion F im Fall n>1 keine rationale Funktion
von x ist, da sie ja die Wurzelausdrücke mit x
unter der Wurzel enthält.
Zu beweisen wäre also, dass die Integration von F
auf die Integration einer rationalen Funktion
zurückgeführt werden kann, indem man z.B. durch
die Substitution [mm] u:=\wurzel[n]{ax+b} [/mm] auf ein Integral [mm] \integral{G(u)\,du} [/mm]
kommen kann, dessen Integrand G(u) eine rationale
Funktion von u ist.
Gruß Al-Chwarizmi
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