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Integration<=>durch Different.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:06 Fr 29.06.2012
Autor: EvelynSnowley2311

Aufgabe
a)
Seien i und J in [mm] \IR [/mm] und f : I x J [mm] \to \IR [/mm] eine stetige Funktion, die nach der ersten Variable stetig differenzierbar sei. Ferner seien  [mm] \mu [/mm] , [mm] \nu [/mm] : I [mm] \to [/mm] J stetig differenzierbare Funktionen. Berechne die Ableitung von

F(x) := [mm] \integral_{\mu(x)}^{\nu(x)}{f(x,y) dy} [/mm]     , x [mm] \in [/mm] I.



b)
berechne das Integral
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-bx}-e^{-ax}}{x} dx} [/mm]
, a,b > 0 durch Differentiation nach a und b.

huhu,

Ja eine Mörderaufgabe^^. Vielleicht erstmal zur b) da ich a noch keinen Ansatz habe:
Differentieren ergibt durch Quotientenregel:


[mm] \bruch{\partial}{\partial a} [/mm] = [mm] e^{-ax} [/mm] - [mm] \bruch{e^{-bx}+e^{-ax}}{x^2} [/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial b} [/mm] = [mm] -e^{-bx} [/mm] - [mm] \bruch{e^{-bx}+e^{-ax}}{x^2} [/mm]

also kann ich daraus eine Jacobimatrix machen. Aber dann dachte ich mir, dass ich den sog. Transformationssatz nicht nutzen kann, da ich die det der Jacobimatrix ja nicht bilden kann, da diese 1x2 Matrix ist.

Dann hab ich mir nochmal angeguckt, wie man mit uneig, Integralen umgeht:

[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-bx}-e^{-ax}}{x} dx} [/mm]

=

[mm] \limes_{c\rightarrow\infty} \integral_{0}^{c}{\bruch{e^{-bx}-e^{-ax}}{x} dx} [/mm]

Wir wäre es jetzt mit dem Ansatz, dass ich a und b als konstante betrachte
dann liefert mir wolfrahm alpha sowas.


http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%28Exp%28-bx%29+-+Exp%28-ax%29%29%2Fx&random=false


diese exp. Integralfunktion sagt mir leider nix ;(

Weiß jemand hier weiter?


Lg, Eve

        
Bezug
Integration<=>durch Different.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:42 Fr 29.06.2012
Autor: hippias


> a)
>  Seien i und J in [mm]\IR[/mm] und f : I x J [mm]\to \IR[/mm] eine stetige
> Funktion, die nach der ersten Variable stetig
> differenzierbar sei. Ferner seien  [mm]\mu[/mm] , [mm]\nu[/mm] : I [mm]\to[/mm] J
> stetig differenzierbare Funktionen. Berechne die Ableitung
> von
>  
> F(x) := [mm]\integral_{\mu(x)}^{\nu(x)}{f(x,y) dy}[/mm]     , x [mm]\in[/mm]
> I.
>  
>
>
> b)
>  berechne das Integral
>  [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-bx}-e^{-ax}}{x} dx}[/mm]
>  ,
> a,b > 0 durch Differentiation nach a und b.
>  huhu,
>  
> Ja eine Mörderaufgabe^^. Vielleicht erstmal zur b) da ich
> a noch keinen Ansatz habe:
> Differentieren ergibt durch Quotientenregel:
>  
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial a}[/mm] = [mm]e^{-ax}[/mm] -
> [mm]\bruch{e^{-bx}+e^{-ax}}{x^2}[/mm]
>  [mm]\bruch{\partial}{\partial b}[/mm] = [mm]-e^{-bx}[/mm] -
> [mm]\bruch{e^{-bx}+e^{-ax}}{x^2}[/mm]

Nein, fuer die Integration nach $a$ wird die Quotientenregel nicht benoetigt, daher ist Dein Zwischenergebniss hier nicht richtig.

>  
> also kann ich daraus eine Jacobimatrix machen. Aber dann
> dachte ich mir, dass ich den sog. Transformationssatz nicht
> nutzen kann, da ich die det der Jacobimatrix ja nicht
> bilden kann, da diese 1x2 Matrix ist.
>  
> Dann hab ich mir nochmal angeguckt, wie man mit uneig,
> Integralen umgeht:
>  
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-bx}-e^{-ax}}{x} dx}[/mm]
>  
> =
>  
> [mm]\limes_{c\rightarrow\infty} \integral_{0}^{c}{\bruch{e^{-bx}-e^{-ax}}{x} dx}[/mm]
>  
> Wir wäre es jetzt mit dem Ansatz, dass ich a und b als
> konstante betrachte
>  dann liefert mir wolfrahm alpha sowas.
>  
>
> http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%28Exp%28-bx%29+-+Exp%28-ax%29%29%2Fx&random=false
>  
>
> diese exp. Integralfunktion sagt mir leider nix ;(
>  
> Weiß jemand hier weiter?
>  

Man kann das urspruengliche Integral als Funktion in Abhaengigkeit von $a$ und $b$ auffassen und hofft, dass man aus den Ableitungen eine einfache, explizite Darstellung fuer diese Funktion ablesen kann. Uebrigens: Darf man hier ueberhaput Differentiation, Grenzwertbildung und Integration vertauschen?

>
> Lg, Eve


Bezug
                
Bezug
Integration<=>durch Different.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:11 Fr 29.06.2012
Autor: EvelynSnowley2311


> > a)
>  >  Seien i und J in [mm]\IR[/mm] und f : I x J [mm]\to \IR[/mm] eine stetige
> > Funktion, die nach der ersten Variable stetig
> > differenzierbar sei. Ferner seien  [mm]\mu[/mm] , [mm]\nu[/mm] : I [mm]\to[/mm] J
> > stetig differenzierbare Funktionen. Berechne die Ableitung
> > von
>  >  
> > F(x) := [mm]\integral_{\mu(x)}^{\nu(x)}{f(x,y) dy}[/mm]     , x [mm]\in[/mm]
> > I.
>  >  
> >
> >
> > b)
>  >  berechne das Integral
>  >  [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-bx}-e^{-ax}}{x} dx}[/mm]
>  
> >  ,

> > a,b > 0 durch Differentiation nach a und b.
>  >  huhu,
>  >  

> > [mm]\bruch{\partial}{\partial a}[/mm] = [mm]e^{-ax}[/mm] -
> > [mm]\bruch{e^{-bx}+e^{-ax}}{x^2}[/mm]
>  >  [mm]\bruch{\partial}{\partial b}[/mm] = [mm]-e^{-bx}[/mm] -
> > [mm]\bruch{e^{-bx}+e^{-ax}}{x^2}[/mm]
>  Nein, fuer die Integration nach [mm]a[/mm] wird die Quotientenregel
> nicht benoetigt, daher ist Dein Zwischenergebniss hier
> nicht richtig.

^

Mein neues Ergebnis :

nach a abgeleitet: [mm] e^{-ax} \* [/mm] 1/x
nach b abgeleitet: - [mm] e^{-bx} \* [/mm] 1/x


> > also kann ich daraus eine Jacobimatrix machen. Aber dann
> > dachte ich mir, dass ich den sog. Transformationssatz nicht
> > nutzen kann, da ich die det der Jacobimatrix ja nicht
> > bilden kann, da diese 1x2 Matrix ist.
>  >  
> > Dann hab ich mir nochmal angeguckt, wie man mit uneig,
> > Integralen umgeht:
>  >  
> > [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-bx}-e^{-ax}}{x} dx}[/mm]
>  >  
> > =
>  >  
> > [mm]\limes_{c\rightarrow\infty} \integral_{0}^{c}{\bruch{e^{-bx}-e^{-ax}}{x} dx}[/mm]
>  
> >  

> > Wir wäre es jetzt mit dem Ansatz, dass ich a und b als
> > konstante betrachte
>  >  dann liefert mir wolfrahm alpha sowas.
>  >  
> >
> >
> http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%28Exp%28-bx%29+-+Exp%28-ax%29%29%2Fx&random=false
>  >  
> >
> > diese exp. Integralfunktion sagt mir leider nix ;(
>  >  
> > Weiß jemand hier weiter?
>  >  
> Man kann das urspruengliche Integral als Funktion in
> Abhaengigkeit von [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] auffassen und hofft, dass man aus
> den Ableitungen eine einfache, explizite Darstellung fuer
> diese Funktion ablesen kann.

Kann ich hier nun eine einfach Darstellung der Funktion ablesen?


Uebrigens: Darf man hier

> ueberhaput Differentiation, Grenzwertbildung und
> Integration vertauschen?

Ich würde alleine aus der Formulierung der Aufgabenstellung sagen ja!

> >
> > Lg, Eve
>  


Bezug
                        
Bezug
Integration<=>durch Different.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:55 Fr 29.06.2012
Autor: hippias


> > > a)
>  >  >  Seien i und J in [mm]\IR[/mm] und f : I x J [mm]\to \IR[/mm] eine
> stetige
> > > Funktion, die nach der ersten Variable stetig
> > > differenzierbar sei. Ferner seien  [mm]\mu[/mm] , [mm]\nu[/mm] : I [mm]\to[/mm] J
> > > stetig differenzierbare Funktionen. Berechne die Ableitung
> > > von
>  >  >  
> > > F(x) := [mm]\integral_{\mu(x)}^{\nu(x)}{f(x,y) dy}[/mm]     , x [mm]\in[/mm]
> > > I.
>  >  >  
> > >
> > >
> > > b)
>  >  >  berechne das Integral
>  >  >  [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-bx}-e^{-ax}}{x} dx}[/mm]
>  
> >  

> > >  ,

> > > a,b > 0 durch Differentiation nach a und b.
>  >  >  huhu,
>  >  >  
>
> > > [mm]\bruch{\partial}{\partial a}[/mm] = [mm]e^{-ax}[/mm] -
> > > [mm]\bruch{e^{-bx}+e^{-ax}}{x^2}[/mm]
>  >  >  [mm]\bruch{\partial}{\partial b}[/mm] = [mm]-e^{-bx}[/mm] -
> > > [mm]\bruch{e^{-bx}+e^{-ax}}{x^2}[/mm]
>  >  Nein, fuer die Integration nach [mm]a[/mm] wird die
> Quotientenregel
> > nicht benoetigt, daher ist Dein Zwischenergebniss hier
> > nicht richtig.
>  ^
>  
> Mein neues Ergebnis :
>  
> nach a abgeleitet: [mm]e^{-ax} \*[/mm] 1/x
> nach b abgeleitet: - [mm]e^{-bx} \*[/mm] 1/x

Nein: Du hast die innere Ableitung vergessen.

>
>
> > > also kann ich daraus eine Jacobimatrix machen. Aber dann
> > > dachte ich mir, dass ich den sog. Transformationssatz nicht
> > > nutzen kann, da ich die det der Jacobimatrix ja nicht
> > > bilden kann, da diese 1x2 Matrix ist.
>  >  >  
> > > Dann hab ich mir nochmal angeguckt, wie man mit uneig,
> > > Integralen umgeht:
>  >  >  
> > > [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-bx}-e^{-ax}}{x} dx}[/mm]
>  
> >  >  

> > > =
>  >  >  
> > > [mm]\limes_{c\rightarrow\infty} \integral_{0}^{c}{\bruch{e^{-bx}-e^{-ax}}{x} dx}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Wir wäre es jetzt mit dem Ansatz, dass ich a und b als
> > > konstante betrachte
>  >  >  dann liefert mir wolfrahm alpha sowas.
>  >  >  
> > >
> > >
> >
> http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%28Exp%28-bx%29+-+Exp%28-ax%29%29%2Fx&random=false
>  >  >  
> > >
> > > diese exp. Integralfunktion sagt mir leider nix ;(
>  >  >  
> > > Weiß jemand hier weiter?
>  >  >  
> > Man kann das urspruengliche Integral als Funktion in
> > Abhaengigkeit von [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] auffassen und hofft, dass man aus
> > den Ableitungen eine einfache, explizite Darstellung fuer
> > diese Funktion ablesen kann.
>  
> Kann ich hier nun eine einfach Darstellung der Funktion
> ablesen?

Wenn Du so fragst kann die Antwort nur "Nein" lauten.

>
>
> Uebrigens: Darf man hier
> > ueberhaput Differentiation, Grenzwertbildung und
> > Integration vertauschen?
>
> Ich würde alleine aus der Formulierung der
> Aufgabenstellung sagen ja!

Das ist richtig beobachtet, aber kaum gute Mathematik; schau mal in einem Analysis Buch unter dem Stichwort Parameterintegrale und Verwandtem nach.

>  > >

> > > Lg, Eve
> >  

>  


Bezug
                                
Bezug
Integration<=>durch Different.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:27 Fr 29.06.2012
Autor: EvelynSnowley2311


> > > > a)
>  >  >  >  Seien i und J in [mm]\IR[/mm] und f : I x J [mm]\to \IR[/mm] eine
> > stetige
> > > > Funktion, die nach der ersten Variable stetig
> > > > differenzierbar sei. Ferner seien  [mm]\mu[/mm] , [mm]\nu[/mm] : I [mm]\to[/mm] J
> > > > stetig differenzierbare Funktionen. Berechne die Ableitung
> > > > von
>  >  >  >  
> > > > F(x) := [mm]\integral_{\mu(x)}^{\nu(x)}{f(x,y) dy}[/mm]     , x [mm]\in[/mm]
> > > > I.
>  >  >  >  
> > > >
> > > >
> > > > b)
>  >  >  >  berechne das Integral
>  >  >  >  [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-bx}-e^{-ax}}{x} dx}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > >  ,

> > > > a,b > 0 durch Differentiation nach a und b.
>  >  >  >  huhu,
>  >  >  >  

> > Mein neues Ergebnis :
>  >  
> > nach a abgeleitet: [mm]e^{-ax} \*[/mm] 1/x
> > nach b abgeleitet: - [mm]e^{-bx} \*[/mm] 1/x
>  Nein: Du hast die innere Ableitung vergessen.
>  

Oh gott wo bin ich nur mit meinem Kopf:

nach a abgeleitet:  [mm] e^{-ax} [/mm]
nach b abgeleitet: [mm] -e^{-bx} [/mm]

> >

> > > > Dann hab ich mir nochmal angeguckt, wie man mit uneig,


> > > Man kann das urspruengliche Integral als Funktion in
> > > Abhaengigkeit von [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] auffassen und hofft, dass man aus
> > > den Ableitungen eine einfache, explizite Darstellung fuer
> > > diese Funktion ablesen kann.
>  >  
> > Kann ich hier nun eine einfach Darstellung der Funktion
> > ablesen?
> Wenn Du so fragst kann die Antwort nur "Nein" lauten.
>  >

> >
> > Uebrigens: Darf man hier
> > > ueberhaput Differentiation, Grenzwertbildung und
> > > Integration vertauschen?
> >
> > Ich würde alleine aus der Formulierung der
> > Aufgabenstellung sagen ja!
>  Das ist richtig beobachtet, aber kaum gute Mathematik;
> schau mal in einem Analysis Buch unter dem Stichwort
> Parameterintegrale und Verwandtem nach.

Sofern ich das verstehe, darf ich folgendes bilden:

F'(x) nach a= [mm] \integral_{0}^{\infty} e^{-ax} [/mm] dx
F'(x) nach b = [mm] \integral _{0}^{\infty} -e^{-bx} [/mm] dx

wobei ich mich frage, wenn dort steht dx, wieso darf bzw soll man eig nach a bzw b differenzieren?

jedenfalls wenn ich nun die zwei partiellen Ableitungen des integrals habe, muss ich nun das Integral der beiden ausrechnen (was mit möglich erscheint) und diese dann.. addieren?

> > > > Lg, Eve
> > >  

> >  

>  


Bezug
                                        
Bezug
Integration<=>durch Different.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:13 Fr 29.06.2012
Autor: hippias


> > > > > a)
>  >  >  >  >  Seien i und J in [mm]\IR[/mm] und f : I x J [mm]\to \IR[/mm]
> eine
> > > stetige
> > > > > Funktion, die nach der ersten Variable stetig
> > > > > differenzierbar sei. Ferner seien  [mm]\mu[/mm] , [mm]\nu[/mm] : I [mm]\to[/mm] J
> > > > > stetig differenzierbare Funktionen. Berechne die Ableitung
> > > > > von
>  >  >  >  >  
> > > > > F(x) := [mm]\integral_{\mu(x)}^{\nu(x)}{f(x,y) dy}[/mm]     , x [mm]\in[/mm]
> > > > > I.
>  >  >  >  >  
> > > > >
> > > > >
> > > > > b)
>  >  >  >  >  berechne das Integral
>  >  >  >  >  
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-bx}-e^{-ax}}{x} dx}[/mm]
>  >  
> > >  

> > > >  

> > > > >  ,

> > > > > a,b > 0 durch Differentiation nach a und b.
>  >  >  >  >  huhu,
>  >  >  >  >  
>
> > > Mein neues Ergebnis :
>  >  >  
> > > nach a abgeleitet: [mm]e^{-ax} \*[/mm] 1/x
> > > nach b abgeleitet: - [mm]e^{-bx} \*[/mm] 1/x
>  >  Nein: Du hast die innere Ableitung vergessen.
>  >  
> Oh gott wo bin ich nur mit meinem Kopf:
>  
> nach a abgeleitet:  [mm]e^{-ax}[/mm]
>  nach b abgeleitet: [mm]-e^{-bx}[/mm]
>  > >

>
> > > > > Dann hab ich mir nochmal angeguckt, wie man mit uneig,
>
>
> > > > Man kann das urspruengliche Integral als Funktion in
> > > > Abhaengigkeit von [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] auffassen und hofft, dass man aus
> > > > den Ableitungen eine einfache, explizite Darstellung fuer
> > > > diese Funktion ablesen kann.
>  >  >  
> > > Kann ich hier nun eine einfach Darstellung der Funktion
> > > ablesen?
> > Wenn Du so fragst kann die Antwort nur "Nein" lauten.
>  >  >

> > >
> > > Uebrigens: Darf man hier
> > > > ueberhaput Differentiation, Grenzwertbildung und
> > > > Integration vertauschen?
> > >
> > > Ich würde alleine aus der Formulierung der
> > > Aufgabenstellung sagen ja!
>  >  Das ist richtig beobachtet, aber kaum gute Mathematik;
> > schau mal in einem Analysis Buch unter dem Stichwort
> > Parameterintegrale und Verwandtem nach.
>  
> Sofern ich das verstehe, darf ich folgendes bilden:
>  
> F'(x) nach a= [mm]\integral_{0}^{\infty} e^{-ax}[/mm] dx
>  F'(x) nach b = [mm]\integral _{0}^{\infty} -e^{-bx}[/mm] dx
>  
> wobei ich mich frage, wenn dort steht dx, wieso darf bzw
> soll man eig nach a bzw b differenzieren?
>  
> jedenfalls wenn ich nun die zwei partiellen Ableitungen des
> integrals habe, muss ich nun das Integral der beiden
> ausrechnen (was mit möglich erscheint) und diese dann..
> addieren?

Betrachte es so: Man setzt $G(a,b):=$ Dein Integral. Mal angenommen Du rechnest jetzt aus, dass [mm] $\partial G/\partial [/mm] a= 2a$ und [mm] $\partial G/\partial [/mm] b= [mm] 5-\frac{1}{b}$. [/mm] Dann folgt aus der ersten Beziehung, dass $G= [mm] a^{2}+ [/mm] h$, wobei $h$ eine Funktion ist, die nur von $b$ abhaengt (da sie bei der Differentiation nach $a$ wegfaellt). Aus der zweiten Gleichung folgt dann $h'= 5-b$, also $h= 5b-ln(|b|)+ C$. Somit $G= [mm] a^{2}+5b- [/mm] ln(|b|)+ C$, was durch direkte Integration vielleicht nur sehr schwer herauszubekommen waere.

Es ist aber nicht selbstverstaendlich, dass diese Vorgehensweise funktioniert: Es werden hierbei mehrere Grenzwerte vertauscht und Dein Integral ist zweifacher Hinsicht uneigentlich.

>  
> > > > > Lg, Eve
> > > >  

> > >  

> >  

>  


Bezug
                                                
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Integration<=>durch Different.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:18 So 01.07.2012
Autor: EvelynSnowley2311

huhu,

also ich habe mir nun in Ruhe das mal alles angeguckt, und ich komm soweit:

ich betrachte mein F(x) nun als G(a,b) :=

[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-bx}-e^{-ax}}{x} d?} [/mm]


Ich kann aberr erstmal das Ganze nur ohne das uneig Integral betrachten, da ich, wenn ich es mit eineziehe in die Ableitung, dann wegen der Ableitung meiner e- Funktion sowas wie - [mm] \infty [/mm] / [mm] \infty [/mm] -1 bekomme (nach a)
und ich selbst mit lHospital daran nix ändern kann.


dann berechne ich zuerst ohne Betrachtung des Integrals


[mm] \partial G/\partial [/mm] a =  [mm] e^{-ax} [/mm] dann ist G von der Form
- [mm] \bruch{e^{-ax}}{a} [/mm] + h, wobei h eine Funktion ist die nur von b abhängt.

[mm] \partial G/\partial [/mm] b ist dann : - [mm] e^{-bx} [/mm] und G : [mm] \bruch{e^{-bx}}{b} [/mm] := h'

also h = [mm] -e^{-bx} [/mm]

und damit insgesamt:
G :=  - [mm] \bruch{e^{-ax}}{a} -e^{-bx} [/mm]

Mein überaus entscheidender Fehler in dem Ganzen liegt nun beim uneigentlichen Integral: Egal, wann oder wie ich es anwende, durch die E-Funktion habe ich immer das Problem mit den  [mm] \infty, [/mm] - [mm] \infty, [/mm] das nie wegfällt. Was kann ich dagegen tun?

Bezug
                                                        
Bezug
Integration<=>durch Different.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:43 So 01.07.2012
Autor: fred97

Das Integral kannst Du doch nicht weglassen !!!

Für c>0 setze

[mm] f(c):=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-cx}}{x} dx} [/mm]

Dann ist [mm] f'(c)=-\integral_{0}^{\infty}e^{-cx} [/mm]

(Differentiation hinterm Integral)

Berechne das Integral [mm] \integral_{0}^{\infty}e^{-cx} [/mm]  !

Zur Kontrolle: [mm] \integral_{0}^{\infty}e^{-cx}=1/c [/mm]


Jetzt Du.

FRED

Bezug
                                                                
Bezug
Integration<=>durch Different.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 So 01.07.2012
Autor: EvelynSnowley2311


> Das Integral kannst Du doch nicht weglassen !!!
>  
> Für c>0 setze
>  
> [mm]f(c):=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-cx}}{x} dx}[/mm]
>  
> Dann ist [mm]f'(c)=-\integral_{0}^{\infty}e^{-cx}[/mm]
>  
> (Differentiation hinterm Integral)
>  
> Berechne das Integral [mm]\integral_{0}^{\infty}e^{-cx}[/mm]  !
>  
> Zur Kontrolle: [mm]\integral_{0}^{\infty}e^{-cx}=1/c[/mm]
>  
>
> Jetzt Du.
>  
> FRED

ach gott jetzt weiß ich wo mein Fehler war.  ich geh ja gegen Null und nicht gegen [mm] \infty. [/mm]

also habe ich

[mm] \integral_{0}^{\infty} e^{-ax} [/mm]
=
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{n} e^{-ax} [/mm]
=
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{e^{an}\* n} [/mm] - [mm] \bruch{e^{-a\*0}}{a} [/mm]
dabei geht ja ersterer Term [mm] \to [/mm] 0, n [mm] \to \infty [/mm] und zweiter Ausdruck ist ja  ist insgesamt [mm] \bruch{1}{a}mit [/mm] dem Vorzeichen vor dem integral!

Analog geht es dann ja bei [mm] -e^{-bx}, [/mm] nur dass da ein anderes Vorzeichen ist. Nun wie füge ich diese beiden "Puzzleteile" zusammen?

Bezug
                                                                        
Bezug
Integration<=>durch Different.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:36 Mo 02.07.2012
Autor: hippias

Ich will Dir ein Beispiel vorrechnen - das so einfach ist, dass man diese Methode natuerlich niemals anwenden wuerde, aber als Beispiel sollte es genuegen:
Es gilt [mm] $\frac{\partial}{\partial a}\int_{1}^{2} (a^{2}x+b)dx= \int_{1}^{2}\frac{\partial}{\partial a} (a^{2}x+b)dx= \int_{1}^{2}2a [/mm] x dx= 3a$ und [mm] $\frac{\partial}{\partial b}\int_{1}^{2} (a^{2}x+b)dx= \int_{1}^{2}\frac{\partial}{\partial b} (a^{2}x+b)dx= \int_{1}^{2}1 [/mm] dx= 2$.
Fuer die Funktion $F(a,b):= [mm] \int_{1}^{2} (a^{2}x+b)dx$ [/mm] gilt also [mm] $\frac{\partial}{\partial a} [/mm] F= 3a$ und [mm] $\frac{\partial}{\partial b} [/mm] F= 2$. Aus der zweiten Gleichung ergibt sich $F= 2b+ f$, wobei $f$ nur von $a$ abhaengt und $f'= 3a$ gilt (siehe erste Gleichung). Damit folgt $F= 2b+ [mm] \frac{3}{2} a^{2} [/mm] +C$. Da offensichtlich $F(0,0)= 0$ ist, folgt auch $C= 0$.

Nach diesem Schema kannst Du versuchen Dein Integral zu berechnen.

Bezug
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