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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Sa 10.08.2013 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Integral
[mm] \integral{\bruch{e^x-1}{e^x+1}}dx [/mm] |
Hallo,
ich bin gerade etwas am verzweifeln.
Ich habe:
[mm] \integral{\bruch{e^x-1}{e^x+1}}dx=\integral{\bruch{e^x}{e^x+1}}-\integral{\bruch{1}{e^x+1}}dx
[/mm]
Das erste Integral war kein Problem. Hier habe ich mit Subsitution [mm] u=e^x+1
[/mm]
die Stammfunktion [mm] F(x)=ln(e^x+1)
[/mm]
bei der zweiten klappt es leider nicht so toll.
hier habe ich mit Subsitution [mm] u=e^x
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{u+1}*\bruch{1}{e^x}du}
[/mm]
nun komme ich nicht weiter. Hab ich einen Fehler?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Sa 10.08.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
[mm] \frac{1}{e^{x}+1}=\frac{-e^{x}+e^{x}+1}{e^{x}+1}=\frac{-e^{x}}{e^{x}+1}+\frac{e^{x}+1}{e^{x}+1}=-\frac{e^{x}}{e^{x}+1}+1
[/mm]
Die Stammfunktion aus dem ersten Summanden kennst du nun ja schon.
Achte noch auf die Vorzeichen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Sa 10.08.2013 | | Autor: | melisa1 |
vielen dank! 
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Hallo,
'erweitere' den zweiten Integranden mal mit [mm] e^{-x}, [/mm] dann sollte das auch per Substitution funktionieren.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Sa 10.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
man kann das auch so lösen (nebenbei wollte ich nochmal dran erinnern,
dass man besser von "einer" denn von "der" Stammfunktion spricht):
Es gilt sowohl
[mm] $\int \frac{e^x-1}{e^x+1}dx=c_1+\ln(e^x+1)-\int \frac{1}{e^x-1}dx$
[/mm]
als auch
[mm] $\int \frac{e^x-1}{e^x+1}dx=\int (1-\tfrac{2}{e^x+1})dx=c_2+x-2\int\frac{1}{e^x-1}dx.$
[/mm]
Also ist
[mm] $c_1+\ln(e^x+1)-\int \frac{1}{e^x-1}dx=c+c_2+x-2\int\frac{1}{e^x-1}dx,$
[/mm]
d.h.
[mm] $\int\frac{1}{e^x-1}dx=x-\ln(e^x+1)+\tilde{c}\,.$
[/mm]
Insbesondere ist also
$x [mm] \mapsto x-\ln(e^x+1)$
[/mm]
eine Stammfunktion von $x [mm] \mapsto \tfrac{1}{e^x-1}\,.$
[/mm]
Dieses Resultat kannst Du nun verwenden!
P.S. [mm] $c,c_1,c_2$ [/mm] sind Konstanten, und [mm] $\tilde{c}$ [/mm] ist eine Konstante, die Du
selbst berechnen kannst! (Je nach Penibilität unter Einführung einer weiteren
Konstanten!)
P.P.S. Je nachdem, in welchem Sinne man [mm] $\int [/mm] f(t)dt$ benutzt, kann man
es sich oben auch ersparen, die Konstanten mitzuschleppen, weil sie dann
auch in dem Symbol mit drinstecken. "Schlecht" wird's aber, wenn man etwa
aus den Augen verliert, dass da "ein Repräsentant einer Klasse von
Funktionen" steht:
So gilt etwa [mm] $\int 1dx=F_1$ [/mm] mit [mm] $F_1(x):\equiv\text{id}(x)$ [/mm] und [mm] $\int [/mm] 1 [mm] dx=F_2$ [/mm] mit [mm] $F_2(x):\equiv\text{id}(x)-3\,.$
[/mm]
(Es ist $x [mm] \mapsto \text{id}(x):=x\,.$)
[/mm]
Man darf nun aber nicht
[mm] $\int 1dx-\int1dx=0=\text{id}-(\text{id}-3)=3$
[/mm]
folgern - es sei denn, man weiß die 0 und die 3 dort "richtig" zu lesen. Die
meisten werden aber sagen: "Okay, es folgt also [mm] $0=3\,$... [/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") "
(Oder, selbst, wenn sie die erste Verwirrung überwunden haben: "Die (hier
zugehörige) Nullfunktion ist die gleiche Funktion wie die (hier zugehörige)
Funktion konstant 3?? ")
Eine "mögliche Wahrheit" dieser "falsch wirkenden Gleichheit" wäre hier
vielmehr die Aussage, dass sowohl
$x [mm] \mapsto [/mm] 0$
also auch
$x [mm] \mapsto [/mm] 3$
beides Stammfunktionen der Funktion $x [mm] \mapsto [/mm] 0$ sind. Ist also etwa
[mm] $St(f):=\{F:\;\;F \text{ ist Stammfunktion zu }f\},$
[/mm]
dann besagt mit [mm] $N(x):\equiv [/mm] 0,$ [mm] $Drei(x):\equiv [/mm] 3$ dann obige Gleichung [mm] "$0=3\,$" [/mm] hier etwa nur
$N [mm] \in [/mm] St(N)$ und $Drei [mm] \in St(N)\,.$ [/mm]
"Sowas" kennt man aber generell von Äquivalenzklassen:
Ist [mm] $R\,$ [/mm] eine Äquivalenzrelation auf [mm] $X\,,$ [/mm] so bezeichnet man für $x [mm] \in [/mm] X$ die Menge
[mm] $[x]:=[x]_R:=\{z \in X:\;\;z\;R\;x\}$
[/mm]
als Äquivalenzklasse von [mm] $x\,.$ [/mm] Jedes $y [mm] \in [/mm] [x]$ heißt dann "ein Repräsentant von $[x]$."
Dann definiert man Rechenoperationen zwischen den Äquivalenzklassen
mithilfe von Rechenoperationen von Repräsentanten (dabei ist die
"Wohldefiniertheit" wesentlich). Und dann benutzt man oft Schreibweisen,
wo "es zwischen Äquivalenzklassen und Repräsentanten" 'Verwischungen'
gibt
(oben gibt's zwei Möglichkeiten: [mm] $\int [/mm] 1 [mm] dx=F_1$ [/mm] kann als 'Verwischung' angesehen
werden (rechts müsste dann in Wahrheit [mm] $[F_1]$ [/mm] stehen), oder [mm] $\int 1dx=F_1$ [/mm] bedeutet eher
sowas, dass [mm] $F_1$ [/mm] eine (von allen) Stammfunktion von $x [mm] \mapsto [/mm] 1$ ist!):
Für $x,y [mm] \in [/mm] X$ wird [mm] $x=y\,$ [/mm] geschrieben, obwohl $[x]=[y]$ gemeint ist.
(Ob man nun sagt: Okay, wir schreiben $x [mm] \stackrel{[.]}{=}y$ [/mm] oder [mm] $x\stackrel{R}{=}y$ [/mm] oder ...
für [mm] $[x]=[y]\,,$ [/mm] um nicht $x=y$ "in neuer Bedeutung" zu verwenden oder wie
auch immer... das bleibt einem ja irgendwie auch selbst überlassen, wenn
man selbst etwas niederschreibt. Wenn man aber irgendwo aus dem
Zusammenhang bei Lesen von Literatur von anderen merkt, dass [mm] $x=y\,$ [/mm]
irgendwie "sinnlos oder falsch" ist, dann sollte man sich vielleicht erstmal
fragen, ob vielleicht [mm] $[x]=[y]\,$ [/mm] gemeint ist...
Und nicht unerwähnt will ich lassen, dass für $x,y [mm] \in [/mm] X$ gilt: $[x]=[y] [mm] \iff [/mm] x [mm] \in [/mm] [y]$ [mm] ($\iff [/mm] y [mm] \in [/mm] [x]$).
Hierbei sei [mm] $R\,$ [/mm] eine ÄR auf [mm] $X\,,$ [/mm] und [mm] $[x]\,$ [/mm] die Äquivalenzklasse von $x [mm] \in X\,.$
[/mm]
(Es gilt übrigens auch $[x]=[y] [mm] \iff [/mm] [x] [mm] \cap [/mm] [y] [mm] \not=\varnothing.$))
[/mm]
Beispiel: Man sagt, dass $f [mm] \colon [/mm] [a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] erfüllen möge $f [mm] \in L^1[a,b]\,.$ [/mm] Die Elemente
von [mm] $L^1[a,b]$ [/mm] sind aber "Funktionenklassen". (Wer will, der möge einfach
auch nochmal in "Dirk Werner, Funktionalanalysis" reinschauen!)
D.h. in Wahrheit könnte man das besser so schreiben: Sei $f [mm] \colon [/mm] [a,b] [mm] \to \IR$ [/mm]
mit $[f] [mm] \in L^1[a,b]\,.$
[/mm]
Oder weniger speziell: Man denke mal daran, wie die rationalen Zahlen
über Äquivalenzklassen definiert sind...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Sa 10.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> bei der zweiten klappt es leider nicht so toll.
>
> hier habe ich mit Subsitution [mm]u=e^x[/mm]
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{u+1}*\bruch{1}{\red{e^x}}du}[/mm]
>
> nun komme ich nicht weiter. Hab ich einen Fehler?
das kann man auch weiterrechnen - Du musst natürlich auch [mm] $\red{e^x}\;=\;u$ [/mm] da nochmal einsetzen:
[mm] $\int \frac{1}{u^2+u}du=\int\frac{1}{{(u+\tfrac{1}{2})}^2-\tfrac{1}{4}}du=4 \cdot\int \frac{1}{(2u+1)^2-1}du$
[/mm]
Jetzt kann man sicher substituieren und mit ![[]](/images/popup.gif) dem hier arbeiten.
Wenn ich das richtig sehe, solltest Du dann mit Fallunterscheidungen
weiterrechnen können...
Edit: Man braucht keine Fallunterscheidungen, denn wir haben [mm] $e^x [/mm] > 0$ und damit
mit [mm] $u=u(x)=e^x$ [/mm] und $y:=y(x)=2u(x)+1=2u+1$ sicher $y > [mm] 1\,,$ [/mm] insbesondere
$|y| > 1$...
Also brauchen wir nur das Wissen über die Funktion [mm] $\red{-}\;\text{arcoth}\,.$
[/mm]
P.S. So mal als Tipp, wenn man bei solchen Aufgaben hängt:
Am Besten schaut man immer mal nach, was es so für Wissen über
trigonometrische Funktionen gibt. Ob man dazu nun in gewisse Bücher
(Formelsammlungen, Bronstein...) oder das Internet (Wiki) zu Hilfe zieht,
ist ja erstmal egal. Im Internet sollte man sich halt stärker drauf gefasst
machen, dass "nachrechnen" sehr sinnvoll sein kann bzw. nicht wirklich
unerläßlich ist. 
Gruß,
Marcel
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