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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Mi 22.06.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Bestimmen Sie:
[mm] $\frac{d^2}{dx^2}f(x)$ [/mm] für [mm] $f:[1,\infty[ \rightarrow \mathbb [/mm] R$ definiert durch: $f(x) = x [mm] \cdot \integral_1^x \frac{sin(t)}{t} [/mm] dt$ |
Was sagt mir jetzt diese Aufgabenstellung? Ich weiß überhaupt nicht was ich machen soll! Könnt ihr mir helfen?
Was mich hier quasi rätseln lässt, ist das [mm] $\frac{d^2}{dx^2}f(x)$. [/mm] Ich denke mal, dass man nicht einfach das "d" kürzen darf. Das ist ja eigentlich die Differentiation... Was aber macht nun das Quadrat da drin?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mi 22.06.2011 | | Autor: | bandchef |
Könnte man vielleicht $ [mm] \frac{d^2}{dx^2}f(x) [/mm] $ als [mm] $\left( f'(x) \right)^2$ [/mm] interpretieren?
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Hallo nochmal,
> Könnte man vielleicht [mm]\frac{d^2}{dx^2}f(x)[/mm] als [mm]\left( f'(x) \right)^2[/mm]
> interpretieren?
Nein, als $f''(x)$
Gruß
schachuzipus
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Hallo bandchef,
> Bestimmen Sie:
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> [mm]\frac{d^2}{dx^2}f(x)[/mm] für [mm]f:[1,\infty[ \rightarrow \mathbb R[/mm]
> definiert durch: [mm]f(x) = x \cdot \integral_1^x \frac{sin(t)}{t} dt[/mm]
>
>
> Was sagt mir jetzt diese Aufgabenstellung? Ich weiß
> überhaupt nicht was ich machen soll! Könnt ihr mir
> helfen?
Na, du sollst die 2.Ableitung der oben definierten Abbildung $f(x)$ bestimmen!
>
> Was mich hier quasi rätseln lässt, ist das
> [mm]\frac{d^2}{dx^2}f(x)[/mm]. Ich denke mal, dass man nicht einfach
> das "d" kürzen darf. Das ist ja eigentlich die
> Differentiation... Was aber macht nun das Quadrat da drin?
Das ist lediglich eine andere Schreibweise für $f''(x)$
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Mi 22.06.2011 | | Autor: | bandchef |
Oh, so einfach ist das? Na, das muss man aber wissen 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mi 22.06.2011 | | Autor: | bandchef |
Ich hab dann das mal durchgezogen:
$ f(x) = x [mm] \cdot \integral_1^x \underbrace{\frac{sin(t)}{t}}_{=g(x)} [/mm] dt = [mm] \integral_0^x [/mm] G'(t) dt = [mm] \left[ G(t) \right]_0^x [/mm] = G(x) - G(0)$
[mm] $\Rightarrow \frac{d^2}{dx^2} [/mm] f(x) = [mm] \frac{d^2}{dx^2}\left( G(x) - G(0) \right) [/mm] = g''(x) = [mm] \frac{sin(x)}{x}$
[/mm]
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Mi 22.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wo bleibt der Faktor x vor dem integral? das integral ist richtig abgeleitet, aber du hast ein produkt!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Mi 22.06.2011 | | Autor: | bandchef |
$ f(x) = x [mm] \cdot \integral_1^x \underbrace{\frac{sin(t)}{t}}_{=g(x)} [/mm] dt = [mm] \integral_0^x [/mm] G'(t) dt = x [mm] \cdot \left[ G(t) \right]_0^x [/mm] = x [mm] \cdot \left( G(x) - G(0) \right) [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow \frac{d^2}{dx^2} [/mm] f(x) = [mm] \frac{d^2}{dx^2} \left[ x \cdot \left( G(x) - G(0) \right) \right] [/mm] = g''(x) = [mm] \frac{sin(x)}{x} [/mm] $
Passts dann so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Mi 22.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie leitest du denn x*G(x) ab? stell dir vor du kennst G(x) wie leitest du z. bsp x*sin(x) das ist doch nicht (sin(x))'' (das ist nur ein Bsp nicht dein G(x))
bilde erst mal f' danach f''
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mi 22.06.2011 | | Autor: | bandchef |
$ f(x) = x [mm] \cdot \integral_1^x \underbrace{\frac{sin(t)}{t}}_{=g(x)} [/mm] dt = x [mm] \cdot \integral_0^x [/mm] G'(t) dt = x [mm] \cdot \left[ G(t) \right]_0^x [/mm] = x [mm] \cdot \left( G(x) - G(0) \right) [/mm] = ...$
Was kommt denn da dann raus? Das ist doch: $x [mm] \cdot \frac{sin(x)}{x} [/mm] = sin(x)$ oder?
Und das muss ich jetzt eben noch 2 mal ableiten. Also so: $-sin(x)$ Ist das der Sinn dahinter?
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Hallo nochmal,
> [mm]f(x) = x \cdot \integral_1^x \underbrace{\frac{sin(t)}{t}}_{=g(x)} dt = x \cdot \integral_0^x G'(t) dt = x \cdot \left[ G(t) \right]_0^x = x \cdot \left( G(x) - G(0) \right) = ...[/mm]
Das ist Bezeichnungchaos!
Wieso ändert sich die untere Grenze?
[mm] $f(x)=x\cdot{}\int\limits_{1}^x{\underbrace{\frac{\sin(t)}{t}}_{G'(t)} \ dt}$
[/mm]
[mm] $=x\cdot{}\left[G(t)\right]_1^x=x\cdot{}(G(x)-G(1))$
[/mm]
$G$ kennst du explizit nicht, brachst du auch nicht.
Nun die 1.Ableitung nach Produktregel:
[mm] $f'(x)=1\cdot{}(G(x)-G(1))+x\cdot{}G'(x)$, [/mm] denn $G(1)$ ist eine Konstante, die beim ableiten zu 0 wird.
$=G(x)-G(1)+xG'(x)$
Nun nochmal ableiten und dann ausnutzen, dass [mm] $G'(x)=\frac{\sin(x)}{x}$ [/mm] ist ...
>
> Was kommt denn da dann raus? Das ist doch: [mm]x \cdot \frac{sin(x)}{x} = sin(x)[/mm]
> oder?
>
> Und das muss ich jetzt eben noch 2 mal ableiten. Also so:
> [mm]-sin(x)[/mm] Ist das der Sinn dahinter?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Mi 22.06.2011 | | Autor: | bandchef |
Nochmal ein Versuch:
$ f(x) = x [mm] \cdot \integral_1^x \underbrace{\frac{sin(t)}{t}}_{=g(x)} [/mm] dt = x [mm] \cdot \integral_1^x [/mm] G'(t) dt = x [mm] \cdot \left[ G(t) \right]_1^x [/mm] = x [mm] \cdot \left( G(x) - G(1) \right) [/mm] $
Wenn ich nun die Kettenregel für die 1. Ableitung mache, komm ich auf das hier:
$f'(x) = 1 [mm] \left[ G(x) - G(1) \right] [/mm] + x [mm] \cdot \left[ G'(x) - G'(1) \right] [/mm] = ... $ Was und warum wird an dieser Stelle 0? Das verstehe ich nicht...
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Hallo nochmal
> Nochmal ein Versuch:
>
>
> [mm]f(x) = x \cdot \integral_1^x \underbrace{\frac{sin(t)}{t}}_{=g(x)} dt = x \cdot \integral_1^x G'(t) dt = x \cdot \left[ G(t) \right]_1^x = x \cdot \left( G(x) - G(1) \right)[/mm]
Wieso heißt der Integrand mal $g(x)$ und mal $G'(t)$ ??
>
>
> Wenn ich nun die Kettenregel für die 1. Ableitung mache,
> komm ich auf das hier:
>
> [mm]f'(x) = 1 \left[ G(x) - G(1) \right] + x \cdot \left[ G'(x) - G'(1) \right] = ...[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Was und warum wird an dieser Stelle 0? Das verstehe ich
> nicht...
Na, $G(1)$ ist doch irgendeine reelle Zahl, der Funktionswert der uns unbekannten Funktion $G(x)$ an der Stelle $x=1$
Und eine reelle Zahl ableiten ergibt ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Mi 22.06.2011 | | Autor: | bandchef |
So, ich hoff, das stimmt jetzt so:
$ f(x) = x [mm] \cdot \integral_1^x \underbrace{\frac{sin(t)}{t}}_{=g(x)} [/mm] dt = x [mm] \cdot \integral_1^x [/mm] G'(t) dt = x [mm] \cdot \left[ G(t) \right]_1^x [/mm] = x [mm] \cdot \left( G(x) - G(1) \right) [/mm] $
$ f'(x) = 1 [mm] \left[ G(x) - G(1) \right] [/mm] + x [mm] \cdot \left[ G'(x) - G'(1) \right] [/mm] = G(x) - G(1) + x [mm] \cdot [/mm] G'(x)$
$ f''(x) = G'(x) - G'(1) + [mm] \left( x \cdot G'(x) \right)' [/mm] = g(x) + [mm] \left( x \cdot g(x) \right)' [/mm] = [mm] \frac{sin(x)}{x} [/mm] + [mm] \left( x \cdot \frac{sin(x)}{x} \right)' [/mm] = [mm] \frac{sin(x)}{x} [/mm] + [mm] \left( sin(x) \right)' [/mm] = [mm] \frac{sin(x)}{x} [/mm] + cos(x)$
Stimmt das so?
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Hallo nochmal,
> So, ich hoff, das stimmt jetzt so:
>
> [mm]f(x) = x \cdot \integral_1^x \underbrace{\frac{sin(t)}{t}}_{=g(x)} dt = x \cdot \integral_1^x G'(t) dt = x \cdot \left[ G(t) \right]_1^x = x \cdot \left( G(x) - G(1) \right)[/mm]
Das mit der Bezeichnung $g(x)$ ist und bleibt Murks, das kannst du so oft wiederholen, wie du willst, es wird nicht besser.
>
>
> [mm]f'(x) = 1 \left[ G(x) - G(1) \right] + x \cdot \left[ G'(x) - G'(1) \right] = G(x) - G(1) + x \cdot G'(x)[/mm]
>
>
> [mm]f''(x) = G'(x) - G'(1) + \left( x \cdot G'(x) \right)' = g(x) + \left( x \cdot g(x) \right)' = \frac{sin(x)}{x} + \left( x \cdot \frac{sin(x)}{x} \right)' = \frac{sin(x)}{x} + \left( sin(x) \right)' = \frac{sin(x)}{x} + cos(x)[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja, sieht gut aus (mit $g(x)=G(x)$)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Mi 22.06.2011 | | Autor: | bandchef |
Zitat: "Das mit der Bezeichnung $ g(x) $ ist und bleibt Murks, das kannst du so oft wiederholen, wie du willst, es wird nicht besser."
Und genau das hat unsere Dozentin an der FH heute genauso gemacht bei einem anderen einfacheren Beispiel! Also..., naja ich weiß ja auch nicht! Irgendwer von euch zwei wird schon Recht haben
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Hallo,
> Zitat: "Das mit der Bezeichnung [mm]g(x)[/mm] ist und bleibt Murks,
> das kannst du so oft wiederholen, wie du willst, es wird
> nicht besser."
>
> Und genau das hat unsere Dozentin an der FH heute genauso
> gemacht bei einem anderen einfacheren Beispiel! Also...,
> naja ich weiß ja auch nicht! Irgendwer von euch zwei wird
> schon Recht haben
Naja, ich meine, du nennst den von [mm]x[/mm] unabh. Ausdruck [mm]\frac{\sin(t)}{t}[/mm] hier zunächst [mm]g(x)[/mm], dann ersetzt du dieses [mm]\frac{\sin(t)}{t}[/mm] im nächsten Schritt durch [mm]G'(t)[/mm] ...
Was soll ich davon halten? Zwei verschiedene Bezeichnungen für eine Sache und dann noch eine m.E. Unsinnige ...
Wenn du das gesamte Integral, also [mm]\int\limit_{1}^x{\frac{\sin(t)}{t} \ dt}[/mm] mit [mm]g(x)[/mm] bezeichnen würdest, wäre ich einverstanden, aber so, wie es in der Aufgabe steht ...
Ich weiß ja nicht ...
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Mi 22.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
eure Dozentin hat vielleicht g verwendet, sicher aber nicht für g(t) g(x)!
wenn du g(t) verwendest kannst du dann für das integral G(x) schreiben.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Mi 22.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich mische mich mal ein: um
[mm] \integral_1^x \frac{sin(t)}{t} [/mm] dt
zu differenzieren bemühe den Hauptsatz.
die Ableitung des obigen Integrals nach x ist: [mm] \frac{sin(x)}{x}
[/mm]
FRED
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