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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Di 19.09.2006 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{4}{\frac{x}{(x+1)*\sqrt{2x+1} }dx} [/mm] |
Hallo Leute,
ich hab da mal ne Frage zu der Aufgabe,
ich komme da nicht auf die richtige Lösung
ich würde das durch Substitution lösen
also:
[mm] \integral_{0}^{4}{\frac{x}{(x+1)*\sqrt{2x+1} }dx}
[/mm]
[mm] t=\sqrt{2x+1}
[/mm]
[mm] dt=\frac{1}{\sqrt{2x+1}} [/mm] dx
macht
[mm] \integral_{0}^{4}{\frac{x}{(x+1)*\sqrt{2x+1} }dx}=\integral_{\sqrt{1}}^{\sqrt{9}}{\frac{t^2+1}{t^2+1}*\frac{-2}{t^2+1}dx}
[/mm]
das integriert
macht
[mm] =t-\frac{1}{t}ln(|t^2+1|)=\sqrt{9}-\frac{1}{\sqrt{9}}ln(10)-\sqrt{1}-\frac{1}{\sqrt{1}}ln(2)=5,2146
[/mm]
aber mein rechner sagt mir ein anderes ergebnis und natürlich auch eine andere Stammfunktion
was mach ich denn falsch?
vielen Dank Gruß hooover
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Ich komme beim Umrechnen auf ein anderes Integral:
[mm]\int_1^3~\frac{t^2 - 1}{t^2 + 1}~\mathrm{d}t \ = \ \int_1^3~\left( 1 - 2 \cdot \frac{1}{t^2 + 1} \right)~\mathrm{d}t[/mm]
Auch führt ja die Integration nicht auf den Logarithmus, sondern den Arcustangens.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Di 19.09.2006 | | Autor: | hooover |
mhh
wie hast du denn das t gewählt?
t=2x+1?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Di 19.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit [mm] t=\wurzel{2x+1} [/mm] kommt man auf das Ergebnis von Leopold. Wie du auf deins kommst ist mir schleierhaft.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Di 19.09.2006 | | Autor: | jasko |
Also,die Lösung ist vie folgt:
[mm]t=\wurzel{2x+1}[/mm]
[mm]dt=\bruch{dx}{\wurzel{2x+1}}=\bruch{dx}{t}
\Rightarrow dx=tdt[/mm]
[mm]\Rightarrow x=\bruch{t^2-1}{2}[/mm]
So erhällt man:
[mm]\int_{1}^{3} \bruch{\bruch{t^2-1}{2}}{\bruch{t^2+1}{2}*t}*t\,dt[/mm]
Hierraus erhällt man:
[mm]\int_{1}^{3} \bruch{t^2-1}{t^2+1}*dt = \int_{1}^{3} \bruch{t^2-1+1-1}{t^2+1}*dt = \int_{1}^{3} dt - 2\int_{1}^{3}\bruch{dt}{t^2+1} = 2 - 2*(arctg3 - arctg1) = 2 - 2*(arctg3 - \bruch{\pi}{4})[/mm]
Ich hoffe das diese Lösung stimmt!
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