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| Aufgabe | Ich möchte gerne die Fläche eines Kreises bestimmen, ohne [mm] "\pi [/mm] r²" zu benutzen...
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Mein Ansatz...
Die Kreisgleichung lautet:
x² + y² = r²
Diese Gleichung kann man umformen [mm] \Rightarrow
[/mm]
y²= r² - x²
Zieht man daraus die Wurzel [mm] \Rightarrow
[/mm]
y= [mm] \wurzel{(r² - x²)}
[/mm]
Nun habe ich einen Funktionsterm für den Kreis mit dem Radius r aufgestellt. Um jedoch die Fläche zu berechnen, muss ich die letzte Gleichung integrieren.
WIE MACHE ICH DAS???
Um die Integration zu vereinfachen, habe ich an ein Spezialfall gedacht:
r=1 [mm] \Rightarrow [/mm] y= [mm] \wurzel{(1² - x²)} \Rightarrow [/mm] y= [mm] \wurzel{(1 - x²)}
[/mm]
Durch Substitutionelle Integration & Partielle Integration kam ich nicht weiter...
Nur für Erst-Poster:
Da du eine deiner ersten Fragen in unserem Forum stellst, würden wir gerne sicher gehen, dass du wenigstens den Abschnitt zu Cross-Postings in unseren Regeln gelesen und verstanden hast.
Schreibe also bitte einen der folgenden Sätze an den Anfang oder das Ende deiner Frage (abtippen oder kopieren):
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[Hier gibst du bitte die direkten Links zu diesen Fragen an.]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Sollten wir deine Frage in einem Forum finden, das du hier nicht aufgeführt (oder später ergänzt) hast, werden wir deine Frage nicht unseren hilfsbereiten Mitgliedern vorlegen, sondern die Beantwortung den interessierten Mitgliedern überlassen.
P.S.: Entscheide ggfs. selbst, ob sich die Besucher des fremden Forums über den Hinweis freuen würden, dass die Frage auch hier gestellt wurde.
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Hi, Doktor,
> Ich möchte gerne die Fläche eines Kreises bestimmen, ohne
> [mm]"\pi[/mm] r²" zu benutzen...
>
> Mein Ansatz...
> Die Kreisgleichung lautet:
> x² + y² = r²
> Diese Gleichung kann man umformen [mm]\Rightarrow[/mm]
> y²= r² - x²
> Zieht man daraus die Wurzel [mm]\Rightarrow[/mm]
> y= [mm]\wurzel{(r² - x²)}[/mm]
> Nun habe ich einen Funktionsterm
> für den Kreis mit dem Radius r aufgestellt. Um jedoch die
> Fläche zu berechnen, muss ich die letzte Gleichung
> integrieren.
> WIE MACHE ICH DAS???
> Durch Substitutionelle Integration &
> Partielle Integration kam ich nicht weiter...
Bei Integralen, die [mm] \wurzel{r^{2} - x^{2}} [/mm] enthalten, substituiert man zweckmäßigerweise
x = r*sin(z), wodurch [mm] \wurzel{r^{2} - x^{2}} [/mm] = r*cos(z) wird.
Wenn Du dann noch beachtest (Formelsammlung!),
dass [mm] 2*(cos(z))^{2} [/mm] = 1+cos(2z) ist,
kannst Du das entstehende Integral leicht berechnen!
mfG!
Zwerglein
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Vielen Dank...2
DoktorQuagga
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Sa 09.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Also, ich sag mal das, was ich weiß:
Ich habe das mal mit einem Programm integrieren lassen, und dabei kommt an einer Stelle [mm] arcsin(\bruch{x}{r}) [/mm] heraus.
Die Integrationsgrenzen wären ja -r und r. Setzt man jetzt für x das r ein um das bestimmte Integral zu bilden, dann hätte man da [mm] arcsin(\bruch{r}{r})=arcsin(1)=\bruch{\pi}{2}.
[/mm]
Damit wäre hier auch shcon ein [mm] \pi [/mm] dabei und beim weiteren Umstellen würde man auch auf [mm] \pi [/mm] r² kommen.
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Vielen Dank...3
DoktorQuagga
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..doch, es geht mit substitution UND partieller integration!!
zuerst: x=sin t substituieren, also dx=cos t dt, danach paritell integrieren.
auf die richtigen integrationsgrenzen achten!! und man soll natürlich wissen, wo sin und cos die werte 0 und 1 und -1 annehmen.
versuch's mal
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Vielen Dank...4
DoktorQuagga
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| Aufgabe | | Ich habe jetzt nach über einem Jahr eine leichtere Lösung: |
f(x) = ((1 - [mm] x^{2}) )^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Das möchte ich integrieren_ich weiß jetzt nicht, wie sich das Verfahren nennt, aber ich verfolge einfach die Regel: Äußere Ableitung mal innere Ableitung_nur rückwärts_dann bekomme ich für die "Aufleitung" - also Stammfunktion -Folgendes raus:
F(x) = [mm] \bruch{1}{-3x} \* [/mm] ((1 - [mm] x^{2}) )^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
Denn wenn ich DAS ableite, bekomme ich genau f(x) raus...äußere Abl. mal innere Abl. etc....
Ist das nicht viel einfacher als das, was man mir bisher vorgeschlagen hat, von wegen substituieren mit sin oder sowas?
D.Q.
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Stimmt, das habe ich nicht beachtet_sehe ich auch jetzt, denn wenn ich dann die Kreisfläche bestimmen möchte, bekomme ich 0 raus, da die Fläche von 0 - 1 auf der x Achse geht_die obere und untere Integrationsgrenze ist zwar richtig, aber da darf halt nicht 0 FE als Fläche rauskommen...
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| Aufgabe | Ich komme einfach nicht drauf_ich habe das jetzt auch mit INTEGRATION DURCH SUBSTITUTION versucht. Aber das geht nicht, da ich ein f(z) bekomme, was als Quotient (-2x) enthält. Das liegt an dem [mm] x^2...
[/mm]
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Also jetzt mal ganz konkret, kann man die Funktion durch Substitution integrieren? Also: f(x) = f(g(x)) [mm] \* [/mm] g'(x) usw.?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Doc,
du meinst jetzt die Funktion $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ bzw. $f(x)=(1-x^2)^{\frac{1}{2}$ ?
Im zweiten post oben hat Erwin doch schon den Substitutionsansatz gegeben
Substituiere hier: $x=\sin(u)$, also $u=\sin^{-1}(x)=\arcsin(x)$
Dann ist $\frac{dx}{du}=\cos(u)$, also $dx=\cos(u) \ du$
Also hast du $\int{\sqrt{1-x^2} \ dx}=\int{\sqrt{1-\sin^2(u)}\cos(u) \ du}=\int{\sqrt{\cos^2(u)}\cos(u) \ du}=\int{\cos^2(u) \ du}$
Das kannst du schnell mit partieller Integration lösen:
$\red{\int{\cos^2(u) \ du}}=\sin(u)\cos(u)+\int{\sin^2(u) \ du}=\sin(u)\cos(u)+\int{\left(1-\cos^2(u)\right) \ du}=\sin(u)\cos(u)+u\red{-\int{\cos^2(u) \ du}} \qquad \mid +\int{\cos^2(u) \ du}$
$\Rightarrow 2\int{\cos^2(u) \ du}=\sin(u)\cos(u)+u\Rightarrow \int{\cos^2(u) \ du}=\frac{\sin(u)\cos(u)+u}{2}$
Nun resubstituieren: $u=\arcsin(x)$
$=\frac{\sin(\arcsin(x))\cos(\arcsin(x))+\arcsin(x)}{2}=\frac{\arcsin(x)}{2}+\frac{x\cdot{}\cos(\arcsin(x))}{2}$
$=\frac{\arcsin(x)}{2}+\frac{x\cdot{}\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(x))}}{2}=\frac{\arcsin(x)}{2}+\frac{x\cdot{}\sqrt{1-x^2}}{2}$
Gruß
schachuzipus
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| Aufgabe | | Hmm_ist es normal, dass ich mit meinem MATHE-LK WISSEN diese Rechnung nicht nachvollziehen kann? Also lernt man sowas erst im Studium, oder hat das jetzt NUR mein Mathe-Kurs nicht durchgemacht? :D |
D.Q.
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Hallo!
> Hmm_ist es normal, dass ich mit meinem MATHE-LK WISSEN
> diese Rechnung nicht nachvollziehen kann? Also lernt man
> sowas erst im Studium, oder hat das jetzt NUR mein
> Mathe-Kurs nicht durchgemacht? :D
> D.Q.
Mach dir da mal keine Sorgen. das lernt man auch noch im Studium. allerdings habe ich diese aufgabe in der schule auch gehabt als exkursion. Sie war bei dem damaligen verständnis zur Integralrechnung auch mühsam nachzuvollziehen. Aber mit der Zeit damit meine ich wenn man ganz fleißig jede menge Integrale löst jeglicher form dann bekommt man einen blick dafür welche regel oder was man substituieren kann anwenden muss. Also fleißig rechnen 
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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Danke_das beruhigt mich! ;)
D.Q.
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
...äußere Abl. mal innere Abl. etc.... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
