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Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 Mi 20.01.2021
Autor: Mathemurmel

Aufgabe
Gegeben sei die Funktion f mit y = f(x) =  [mm] \bruch{0,123456}{\wurzel{1+sin(x)}} [/mm]
a) Untersuchen Sie f bzw. ihren Graphen auf Extrempunkte und Polstellen!
b) Zeichnen Sie den Graphen von f im Intervall [mm] \bruch{-pi}{2} [/mm] < x < [mm] \bruch{3}{2} [/mm] pi !
c) Berechnen Sie den Zahlenwert des Inhalts der Fläche A, die vom Graphen f, den Koordinatenachsen und der Parallelen zur y-Achse durch den Minimumpunkt begrenzt wird! Der Wert soll 6 Nachkommastellen beinhalten!

c) Ich will berechnen:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{pi}{2}}{\bruch{0,123456}{\wurzel{1+sin(x)}} dx} [/mm]

es geht aber nicht mit der Produktintegration und nicht mit der  Integration durch Substitution, die innere Funktion ist auch nicht linear.
Ich weiß keinen weiteren Lösungsweg.

        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:11 Mi 20.01.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

sofern die Funktion so lautet und du dich nicht vertippt hast: Die Funktion wirst du elementar wohl nicht integriert bekommen, wähle also einen anderen Ansatz.

Beispielsweise: Taylor-Entwicklung.
Setze $F(x) = [mm] \integral_{0}^{x}{\bruch{0,123456}{\wurzel{1+sin(t)}} dt}$ [/mm]

Gesucht ist: [mm] $F\left(\frac{\pi}{2}\right)$ [/mm]

Entwickle nun die Taylorreihe im Punkt 0 so weit, dass das Restglied kleiner als [mm] $10^{-7}$ [/mm] ist.

Gruß,
Gono

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Bezug
Integration: elementar integrierbar
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:46 Do 21.01.2021
Autor: Al-Chwarizmi

HalloGono

> sofern die Funktion so lautet und du dich nicht vertippt

> hast: Die Funktion wirst du elementar wohl nicht integriert
> bekommen, wähle also einen anderen Ansatz.


Doch, das sollte schon "elementar" möglich sein, denn es gilt beispielsweise:

[mm] $\qquad \quad \sqrt{1\ +\ sin(x)\,}\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{2}\, \cdot\, \left|\,cos\,\left(\frac{x}{2}\,-\,\frac{\pi}{4}\,\right)\right|$ [/mm]

Da das alles aber noch im Nenner steht, wird die Durchführung doch etwas unangenehm ...

LG ,    Al-Chw.

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Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:40 Do 21.01.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Doch, das sollte schon "elementar" möglich sein, denn es
> gilt beispielsweise:
>  
> [mm]\qquad \quad \sqrt{1\ +\ sin(x)\,}\ =\ \sqrt{2}\, \cdot\, \left|\,cos\,\left(\frac{x}{2}\,-\,\frac{\pi}{4}\,\right)\right|[/mm]

Schön, dass du das gefunden hast.
Da wir uns ja nur im Bereich $x [mm] \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ [/mm] bewegen, fallen sogar die Betragsstriche weg und das ganze läuft darauf hinaus [mm] $\frac{1}{\cos(x)}$ [/mm] zu integrieren.

Das Integral könnte ja sogar bekannt und/oder gegeben sein.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:01 Do 21.01.2021
Autor: Al-Chwarizmi

Ich habe jetzt die Integration auch durchgeführt. Das Ergebnis kann man
(ohne den doofen Zusatzfaktor 0.123456) so schreiben:

      $\ [mm] \sqrt{2}\ \cdot\ ln\,(\sqrt{2}\,+\,1\,)\ \approx\ [/mm] 1.24645048$

Bezug
        
Bezug
Integration: anderer Weg
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:52 Do 21.01.2021
Autor: statler

Hallo,
da es um ein bestimmtes Integral geht, kannst du auch die zusammengesetzte Trapezregel nehmen und über die Fehlerabschätzung die erforderliche Schrittweite bestimmen.
Der Casio sagt 1,246450 für das Integral ohne den konstanten Faktor 0,123456, weiß jemand, wie der intern rechnet?
Gruß Dieter

Bezug
        
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Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:19 Do 21.01.2021
Autor: fred97

WolframAlpha gibt mir:


$ [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{1}{\wurzel{1+sin(x)}} dx} [/mm] = [mm] \bruch{\ln (3+2 \sqrt{2})}{ \sqrt{2}} \approx [/mm] 1,2465$


Jetzt noch mit $0,123456$ multiplizieren ....

Bezug
                
Bezug
Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:14 Do 21.01.2021
Autor: Gonozal_IX

Hallo fred,

> WolframAlpha gibt mir:

> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{1}{\wurzel{1+sin(x)}} dx} = \bruch{\ln (3+2 \sqrt{2})}{ \sqrt{2}} \approx 1,2465[/mm]

Ja, nur der Weg dahin ist doch das interessante…
Und das macht WolframAlpha anscheinend über komplexe Integration, die hier wohl nicht gefragt ist…

Gruß,
Gono

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Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:25 Do 21.01.2021
Autor: Al-Chwarizmi

Hier jetzt doch noch die (etwas knapp gefasste) Integration:

[mm]I\ =\ \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{1}{\wurzel{1+sin(x)}}\ dx\ =\ \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{1}{\wurzel{2}\,\cdot cos(\frac{x}{2}\,-\,\frac{\pi}{4})}\ dx[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)



Die Substitution   $\ u\,:=\ \frac{x}{2}\,-\,\frac{\pi}{4}}$

führt uns zu:

$\ I\ =\ \sqrt{2}\,\cdot\,\integral_{-\frac{\pi}{4}}^{0} \frac{1}{cos(u)}\, du\ =\ \sqrt{2}\,\cdot\,ln \left \left(\frac{1+sin(u)}{cos(u)}  \right)\right|_{-\frac{\pi}{4}}^{0}\ =\  \sqrt{2}\,\cdot\,\left[\ \underbrace{ln(1)}_{0}\,-\,ln{\left(\,\sqrt{2}\, -\, 1\,\right)}\right]\ =\  \sqrt{2}\,\cdot ln{\left(\,\sqrt{2}\, +\, 1\,\right)}$

$\ \approx  1.2464505$

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