Integralsubstitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 Do 10.03.2005 | | Autor: | BigT |
hallo :)
bin nun schon zum zweiten mal hier ...
das erste mal konntet ihr mir gut helfen .. hoffe es bleibt so ;)
also wir sind z.Zt. bei der Integralsubstitution ...
[mm] \integral_{a}^{b} {x\* \wurzel[2]{r^2-x^2} dx}
[/mm]
die substitution ist : [mm] X=r\*sin(u) [/mm] ; dx = [mm] r\*cos(u) [/mm] du ; [mm] \wurzel[2]{r^2-x^2} [/mm] = [mm] r\*cos(u)
[/mm]
Das Ergebnis (zur überprüfung) : [mm] -\bruch{(r^2-x^2)^ \bruch{3}{2}}{3}
[/mm]
Wir haben alle in der Schule intensiv rumgerechnet und später noch mit Additionstheoremen versucht es hinzubekommen ... (inc. lehrer)
doch unsere versuche waren nicht von erfolg gekrönt ...
gibt es einen besseren weg als substitution ? wie funktioniert der ? ansonsten bleibt mir wohl nichts anderes übrig als sie durch substitution zu lösen ... bin aber auch dann für jede hilfe oder jeden ansatz dankbar ...
leider brauch ich hilfe bis morgen .. da wir morgen schon wieder mathe haben .. ist keine hausaufgabe oder so , interresiert mich nur und wäre cool wenn ich das morgen den anderen erklären könnte :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
also schonmal danke für alle antworten etc. :]
ciao Timo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Do 10.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo BigT !!
> das erste mal konntet ihr mir gut helfen .. hoffe es bleibt so
Schaun mer mal ... 
> also wir sind z.Zt. bei der Integralsubstitution ...
> [mm]\integral_{a}^{b} {x\* \wurzel[2]{r^2-x^2} dx}[/mm]
Versucht es doch mal mit einer "etwas" einfacheren Substitution:
$u \ := \ [mm] r^2 [/mm] - [mm] x^2$ $\Rightarrow$ $\bruch{du}{dx} [/mm] \ = \ -2x$ [mm] $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ [mm] \bruch{du}{-2x}$
[/mm]
Damit solltet Ihr dann ziemlich schnell zum Ziel kommen ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Do 10.03.2005 | | Autor: | BigT |
Und auch deine (elegantere) Lösung führt zum ziel ... habs gerechnet ...
danke mal wieder für alles :] macht weiter so ... tschuuuu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:32 Do 10.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Timo!
> Das Ergebnis (zur überprüfung) : [mm]-\bruch{(x^2-r^2)^ \bruch{3}{2}}{3}[/mm]
Das Ergebnis sollte aber lauten: [mm]-\bruch{(\red{r}^2 - \blue{x}^2)^ \bruch{3}{2}}{3}[/mm] , oder ??
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:53 Do 10.03.2005 | | Autor: | BigT |
ja stimmt ... hab ich wohl verdreht ... danke für den hinweis ...
(und danke für die antworten / werde gleich loslegen)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Do 10.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Auch wenn Loddars Methode eleganter ist, will ich aber auch euren Ansatz mal zu Ende führen, damit du damit bei deinem Lehrer auftrumpfen kannst . (Mich wundert, dass er das nicht hinbekommen hat, aber ich weiß selber, dass man an der Tafel manchmal die einfachsten Dinge nicht sieht.)
Also, nach erfolgter Substitution erhält man (die Grenzen spare ich mir)
[mm] $\int [/mm] x [mm] \cdot \sqrt[2]{r^2-x^2}\, [/mm] dx = [mm] r^3 \int \sin(u)\cos^2(u)\, [/mm] du$.
Und eine Stammfunktion von [mm] $g(u)=\sin(u)\cos^2(u)$ [/mm] ist offenbar $G(u) = [mm] \frac{\cos^3(u)}{3}$. [/mm] (Wenn man das nicht einsieht, muss man noch einmal substituieren, und zwar [mm] $z=\cos(u)$.)
[/mm]
Wir erhalten also:
[mm] $r^3 \int\sin(u)\cos^2(u)\, [/mm] du = - [mm] \frac{r^3\cos^3(u)}{3}$.
[/mm]
Substitutiert man nun zurück via
[mm] $r\cos(u) [/mm] = [mm] \sqrt[2]{r^2-x^2}$,
[/mm]
so erhält man das gewünschte Ergebnis (bis auf den Verdreher, den Loddar gerade auch bemerkt hat). 
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Do 10.03.2005 | | Autor: | BigT |
danke für die Hilfe , die Lösung steht ...
wunderbar wie immer :)
danke danke ^^
tschuuuu Timo
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