Integralsatz von Green < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 So 10.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich hätte mal eine Frage zu einen Bsp
Es sei [mm] v=\vektor{3x^2+y \\ 5x} [/mm] und C der gegen den Uhrzeigersinn laufende Rand des Dreiecks mit den Punkten (0,0) ,(1,0) und (1,2)
Nun soll ich es auf 2 Verschiedene Varianten lösen
1. direkt
2.mittels Satz von Green
Beim ersten Punkt habe ich mir die 3 Wege berechnet also (t,0),(1,2t) und (1-t,2-2t)
und habe mir die Kurvenintegrale ausgerechnet
und komme für den ersten Weg auf 1,für den 2 auf 5 und für den letzten auf 23
Stimmt überhaupt meine Vorgehensweise bzw meine Ergebnisse?
Wenn ja ,wie mache ich das mit dem Satz von Green?
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Hallo racy90,
> Hallo
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> Ich hätte mal eine Frage zu einen Bsp
>
> Es sei [mm]v=\vektor{3x^2+y \\ 5x}[/mm] und C der gegen den
> Uhrzeigersinn laufende Rand des Dreiecks mit den Punkten
> (0,0) ,(1,0) und (1,2)
>
> Nun soll ich es auf 2 Verschiedene Varianten lösen
> 1. direkt
> 2.mittels Satz von Green
>
> Beim ersten Punkt habe ich mir die 3 Wege berechnet also
> (t,0),(1,2t) und (1-t,2-2t)
>
> und habe mir die Kurvenintegrale ausgerechnet
>
> und komme für den ersten Weg auf 1,für den 2 auf 5 und
> für den letzten auf 23
>
Poste dazu die entsprechenden Rechenschritte.
> Stimmt überhaupt meine Vorgehensweise bzw meine
> Ergebnisse?
>
Der Werte für den 2. und 3. Weg stimmen nicht.
> Wenn ja ,wie mache ich das mit dem Satz von Green?
f(x,y) ist die 1. Komponente des Vektors v, g(x,y) die zweite.
Dann musst Du noch das Integrationsgebiet skizzieren,
um y in Abhängigkeit von x bzw. x in Abhängigkeit von
y darstellen zu können.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 So 10.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Weg 2: [mm] \integral_{0}^{1}{(3x^2+2t)*0+(5x)*2 }=5x^2 [/mm] =5
Weg 3: [mm] \integral_{0}^{1}{(5-8t+3^t^2)*(-1)+(5-5t)*(-2)}= -t+9t^2+15t=23
[/mm]
Meinst du mit Intgrationsgebiet das Dreieck?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 So 10.06.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Weg 2: [mm]\integral_{0}^{1}{(3x^2+2t)*0+(5x)*2 }=5x^2[/mm] =5
bemühe Dich doch bitte wenigstens um eine annähernd korrekte Notation, da stellen sich einem ja alle Nackenhaare...
Nach was integrierst Du überhaupt und warum kommt da x und t vor, wieso ist [mm] $5x^2=5$?
[/mm]
>
> Weg 3: [mm]\integral_{0}^{1}{(5-8t+3^t^2)*(-1)+(5-5t)*(-2)}= -t+9t^2+15t=23[/mm]
>
> Meinst du mit Intgrationsgebiet das Dreieck?
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 So 10.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Naja für den 2 Weg habe ich berechnet [mm] \gamma_2=\vektor{1\\ 0}+t\vektor{1-1 \\ 2-0}=\vektor{1\\ 2t}
[/mm]
[mm] dt=\vektor{0 \\ 2} [/mm]
Mein v2 [mm] =\vektor{3*1^2+2t\\ 5*(1)}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{(3+2t)*0+5*2}=8+2t dt=8t+t^2 [/mm] (in den grenzen von 0 bis 1) =9 Stimmt es jetzt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 So 10.06.2012 | | Autor: | notinX |
> Naja für den 2 Weg habe ich berechnet
> [mm]\gamma_2=\vektor{1\\ 0}+t\vektor{1-1 \\ 2-0}=\vektor{1\\ 2t}[/mm]
>
> [mm]dt=\vektor{0 \\ 2}[/mm]
Ich habe keine Ahnung, was Du da treibst.
Das Kurvenintegral ist so definiert:
[mm] $\int\limits _{a}^{b}v(\gamma)\cdot\dot{\gamma}(t)\,\mathrm{d}t$
[/mm]
Ableitung bestimmen:
[mm] $\gamma(t)=\left(\begin{array}{c}
1\\
2t
\end{array}\right)\Rightarrow\dot{\gamma}(t)=\left(\begin{array}{c}
0\\
2
\end{array}\right)$
[/mm]
>
> Mein v2 [mm]=\vektor{3*1^2+2t\\ 5*(1)}[/mm]
[mm] v(\gamma(t))=\left(\begin{array}{c}
3+2t\\
5
\end{array}\right)
[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{(3+2t)*0+5*2}=8+2t dt=8t+t^2[/mm] (in den
> grenzen von 0 bis 1) =9 Stimmt es jetzt?
Nein, ein bestimmtes Integral sieht so aus:
[mm] $\int\limits_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$
[/mm]
und im Ergebnis taucht weder [mm] $\mathrm{d}t$ [/mm] noch die Integrationsvariable auf! Wo die 8 herkommt ist mir auch höchst schleierhaft, oder wieso da ein [mm] t^2 [/mm] auftaucht. Das einzige t, das im Integranden vorkommt verschwindet, weil es mit 0 multipliziert wird.
Also mal ganz ausführlich in vernünftiger Notation:
[mm] $\int\limits _{a}^{b}v(\gamma)\cdot\dot{\gamma}(t)\,\mathrm{d}t=\int\limits _{0}^{1}\left(\begin{array}{c}3+2t\\
5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0\\2\end{array}\right)\,\mathrm{d}t=\int\limits _{0}^{1}\left((3+2t)\cdot0+5\cdot2\right)\,\mathrm{d}t=\int\limits _{0}^{1}10\,\mathrm{d}t=\left[10t\right]_{0}^{1}=10\cdot1-10\cdot0=10$
[/mm]
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 So 10.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Okay beim nächsten Mal schreibe ich es besser an,ich komme nun auch auf 10 für den 2. Weg.
Um noch mal auf den Satz von Green zurückzukommen.
Ich habe in meinen Buch 2 Varianten vom Satz von Green stehen.
[mm] \integral_{C}^{}{(v*t)dt} [/mm] und [mm] \integral_{C}^{}{(v*n)dt}
[/mm]
Aber wie kann ich das nun auf das Bsp beziehen damit ich das Ergebnis nachkontrollieren kann?
Paar Beiträge vorher wurde geschrieben ich soll das Integrationsgebiet skizzieren und die Abhängikeiten aufstellen.
Aber was ist mein Integrationsgebiet? Das Dreieck oder das Vektorfeld?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 So 10.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das sind 2 Ausdrücke, nicht 2 Verssomem vom Green. schreib mal den Satz von Green als ganzes hin. wa ist dabei v, was n?
aber das Kurvenintegral hast du ja schon? wenn du es ausgerechnet hast, warum dann noch die Frage?
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:10 Mo 11.06.2012 | | Autor: | racy90 |
[mm] \integral_{}^{}{}\integral_{D}^{}({\partial g/ \partial x (x,y)- \partial f / \partial y (x,y)})dxdy=\integral_{}^{}{}\integral_{C}^{}{f(x,y)dx+g(x,y)dy}
[/mm]
Naja ich muss bei der Aufgabe es auch mit dem Integralsatz von Green lösen.
v ist in dem Fall f(x,y) und g(x,y)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:38 Mo 11.06.2012 | | Autor: | notinX |
> [mm]\integral_{}^{}{}\integral_{D}^{}({\partial g/ \partial x (x,y)- \partial f / \partial y (x,y)})dxdy=\integral_{}^{}{}\integral_{C}^{}{f(x,y)dx+g(x,y)dy}[/mm]
Das kann schonmal nicht stimmen, denn die Idee des Satz v. Green besteht darin, ein Doppelintegral auf ein Kurvenintegral zurückzuführen (er ist ein Spezialfall des Stokeschen Satzes). Bei Dir steht auf beiden Seiten ein Doppelintegral.
>
> Naja ich muss bei der Aufgabe es auch mit dem Integralsatz
> von Green lösen.
>
> v ist in dem Fall f(x,y) und g(x,y)
Wie meinst Du das? $v=f(x,y)=g(x,y)$? In der Gleichung kommt gar kein v vor.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Mo 11.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Sorry aber ich wusste nicht wie ich im Editor ein Ringintegral schreibe
Naja du hast ja gefragt was für v und n steht und ich habe gedacht v steht eben für f(x,y) und g(x,y)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Mo 11.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist denn jetzt die frage? das rechte Kurvenintegral hast du, jetzt mach dich an das linke. zeichne für die grenzen dein Gebiet auf.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mo 11.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Stimmt das [mm] \integral_{0}^{1}{}\integral_{0}^{5x-3x^2}(5-1 [/mm] )dxdy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Mo 11.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du auf diese Grenzen für das Integral? du integrierst dch über das hoffentlich aufgemalte Gebiet?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mo 11.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Naja mein Gebiet ist doch v oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mo 11.06.2012 | | Autor: | notinX |
> Naja mein Gebiet ist doch v oder?
Nein, v ist eine Vektorfeld und kein Gebiet. Das gesuchte Gebiet ist der Bereich, der von der Kurve umrandet wird.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mo 11.06.2012 | | Autor: | racy90 |
also das Dreieck mit (0,0) ; (1,0) und (1,2)
aber wie bekomme ich da nur die Abhängkeiten heraus,das sind doch nur Punkte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Mo 11.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Punkte sind die Ecken für das Kurvenintegral hast du sie doch auch verbunden, das Gebiet ist das Innere des Dreiecks+Rand.
und f(x,y) ist doch kein Gebiet in [mm] R^2??
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Mo 11.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Naja das Dreieck besteht aus den Geraden y=0,x=1 und y=2x hilft mir das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Mo 11.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, das sollte dir helfen. wie weit läft denn y, wenn du zuerst öber y integrierst? oder x, wenn du zuerst darüber integrierst? das solltest du in deiner Zeichnung sehen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:20 Di 12.06.2012 | | Autor: | racy90 |
okay ich komme nun auf das gleiche Ergebnis wie mit den Kurvenintegral.
eine letzte Frage zu den Bsb habe ich noch
Weiter oben im Beitrag habe ich 2 Formeln für Integrale gepostet
[mm] \integral_{C}^{}{(v\cdot{}t)dt} [/mm] und [mm] \integral_{C}^{}{(v\cdot{}n)dt}
[/mm]
Sind die äquivalent zu der Formel für Green [mm] \integral_{}^{}{}\integral_{D}^{}({\partial g/ \partial x (x,y)- \partial f / \partial y (x,y)})dxdy=\integral_{C}^{}{f(x,y)dx+g(x,y)dy} [/mm] (rechts eghört eingentlich ein Ringintegral)
Weil es steht als letzte Punkt dort was berechnen diese Integrale?
Bei Green wird ja Intgral über eine Fläche durch ein Kurvenintegral ausgedrückt.
Sagen die beiden dasselbe aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Di 12.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]\integral_{C}^{}{(v\cdot{}t)dt}[/mm] und
> [mm]\integral_{C}^{}{(v\cdot{}n)dt}[/mm]
[mm] \vec{v}*t [/mm] ist ein Vektor, was das Integral bedeutet weiss ich nicht, das Ergebnis ist ein Vektor
das zweite macht nur sinn wenn v längs einer geschlossenen Kurve genommen wird und gibt den Fluss des Vektorfeldes v durch die Kurve an.
ohne den Zusammenhang, etwa was ist v kann man nichts weiter sagen. Die 2 Ausdrücke können doch nicht ohne Zusammenhang so in der Gegend stehen? Da es keine Formeln sind seh ich auch keinen Zusammenhang zur Greenschen Formel.
Gruss leduart
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