Integralsatz von Gauß < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 So 23.11.2008 | | Autor: | Jojo987 |
| Aufgabe | Gegeben sei im [mm] \IR^{3} [/mm] das Vektorfeld
[mm] v=\vektor{x^{2} \\ y^{2} \\ z}
[/mm]
Es sei W der Rand des Würfels defniert durch die Eckpunkte (0;0;0), (1;0;0), (0;1;0) und (0;0;1). Bestimmen Sie [mm] \integral\integral_{W}{v dO}. [/mm] |
Hallo,
Das ist das erste mal das ich mich an den Gaußschen Integralatz wage. Man kann diese Aufgabe sicher auch direkt lösen, da ich aber in Sachen Gaußscher Integralsatz fit werden möchte will ich das mal durch Gauß probieren. Es kann sein dass ich Grundlegende Verständnisprobleme bei diesem Thema habe, also macht mich bitte darauf aufmerksam wenn ihr das gefühl habt ich weiß nicht was ich da mache.
Ok dann wollen wir das mal probieren.
Der Integralsatz von Gauß verbindet Oberflächen- mit Volumensintegralen folgendermaßen:
[mm] \integral\integral_{F}{v dO}=\integral\integral\integral_{D}{div(v) dxdydz}.
[/mm]
also ich hätte nun einfach nach dieser Formel ausgerechnet:
div(v)=2x+2y+1
und die Grenzen für das Volumensintegrals eines Würfels nach angabe gehen jeweils von 0 nach 1, also habe ich:
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{2x+2y+1 dxdydz}
[/mm]
aber irgendwie kommt mir das zu simpel vor. stimt das so, oder was verstehe ic an dem Gaußschen Integralsatz falsch?
wenn ich jetzt weiterrechne ergibt sich:
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{2x+2y+1 dxdydz}=
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{2x+2y+1 dxdy}=
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}{2x+2 dx}=\underline{3}
[/mm]
ist das meine Lösung oder stimmt was nicht.
Vielen dank für jede hilfreich antwort.
lg Johannes
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Guten Abend,
ich habe keinen Fehler gefunden!
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Jojo987 |
Guten Abend zusammen.
Ich hab mir das ganze mit der Aufgabe nochmal durch den Kopf gehen lassen.
Wenn das jetzt so richtig ist das das ergebnis = 3 ist bedeutet das doch dann dass die Oberfläche des Würfels 3 ist oder? Ich nehme das jetzt aus der linke Seite des Gaußschen Satzes da das ja die Oberfläche ist.
müsste dann nicht das Berechnen des Volumenintegrals zu dem Ergebnis 6 führen (Wegen Oberfläche vom Einheitswürfel = 6) ?
Bedanke mich für jede schlaue antwort :)
Gruß Johannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Di 25.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Guten Abend zusammen.
> Ich hab mir das ganze mit der Aufgabe nochmal durch den
> Kopf gehen lassen.
> Wenn das jetzt so richtig ist das das ergebnis = 3 ist
> bedeutet das doch dann dass die Oberfläche des Würfels 3
> ist oder? Ich nehme das jetzt aus der linke Seite des
> Gaußschen Satzes da das ja die Oberfläche ist.
Wieso das denn ???
FRED
>
> müsste dann nicht das Berechnen des Volumenintegrals zu dem
> Ergebnis 6 führen (Wegen Oberfläche vom Einheitswürfel = 6)
> ?
>
> Bedanke mich für jede schlaue antwort :)
>
> Gruß Johannes
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 So 23.11.2008 | | Autor: | tobe |
Hallo,
kann mir jemand erklären wie man genau auf die Integrationsgrenzen kommt? Ich hätte es intuitiv genau so gemacht, warum jedoch, bin ich mir nicht sicher.
Kann man da sagen dass der Würfel halt einfach die Ausdehnung 1 in x-y und z Richtung hat und ich deswegen jeweils immer von 0 bis 1 Integriere?
Dann noch eine Frage zu dem Dreifachintegral. Kann man das einfach so easy nacheinander integrieren?
Müsste man das dann aber nicht auch von innen nach aussen her machen oder ist das egal?
Ich meine also:
[mm] $\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{2x+2y+1dxdydz}$
[/mm]
$ [mm] =\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{2+2y+ dydz}= [/mm] $
$ [mm] =\integral_{0}^{1}{3 dz}=\underline{3} [/mm] $
Wenn ich mir das auch so noch einmal überlege, suchen wir ja eigentlich die Oberfläche eines Würfels mit der Kantenlänge 1 oder?
Ein Würfel hat ja eigentlich 6 Seiten und hier hätte jede Seite die Fläche 1 also müsste ja eigentlich 6 raus kommen?
Wo ist mein/unser Denkfehler?
Sorry für meine Unwissenheit :)
Liebe Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Di 25.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> kann mir jemand erklären wie man genau auf die
> Integrationsgrenzen kommt? Ich hätte es intuitiv genau so
> gemacht, warum jedoch, bin ich mir nicht sicher.
>
> Kann man da sagen dass der Würfel halt einfach die
> Ausdehnung 1 in x-y und z Richtung hat und ich deswegen
> jeweils immer von 0 bis 1 Integriere?
>
> Dann noch eine Frage zu dem Dreifachintegral. Kann man das
> einfach so easy nacheinander integrieren?
Ja
> Müsste man das dann aber nicht auch von innen nach aussen
> her machen oder ist das egal?
Ja, auf die reihenfolge der Integrationen kommt es nicht an (satz von Fubini)
>
> Ich meine also:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{2x+2y+1dxdydz}[/mm]
> [mm]=\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{2+2y+ dydz}=[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{1}{3 dz}=\underline{3}[/mm]
>
> Wenn ich mir das auch so noch einmal überlege, suchen wir
> ja eigentlich die Oberfläche eines Würfels mit der
> Kantenlänge 1 oder?
Das suchen wir nicht. Wie kommst Du darauf ?
FRED
> Ein Würfel hat ja eigentlich 6 Seiten und hier hätte jede
> Seite die Fläche 1 also müsste ja eigentlich 6 raus
> kommen?
>
> Wo ist mein/unser Denkfehler?
>
> Sorry für meine Unwissenheit :)
>
> Liebe Grüße
> Tobias
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